— 115 — 
con gran facilidad. Sea g un entero superior a e y w una raíz primitiva de 
la ecuación binomia 
Ie 
Hagamos 
210 
r2 =R = lyl, 
d(y) =F(2) = g(2)21(02)...g1(02—12). 
El orden aparente de 0(y) es S cd Ñe Aplicando el teorema demos- 
trado, diremos que existen una infinidad de círculos de radios crecientes 
sin cesar, en los cuales 
ME EEES h 
¡MYI>e 2 =ertt 
“para cualquier valor de <. Pero el teorema de Poincaré (generalizado por 
Borel) nos da las desigualdades 
[G(wz)] < er, ..., [Glw2—12)) < erP**, 
De consiguiente, se tendrá 
e—ro+s 
p+e 
O” 3=, 1 
gi (2) 7 ES S e ! 
ea Le ero +e 
y como que « es arbitrario, en nada influye el valor de q. 
Demostrado con toda generalidad el segundo teorema de Hadamard, 
“veamos qué servicio nos presta. Hemos considerado la función entera 
g(2) = Hg (2, 
y hemos buscado un límite superior de 
El primer teorema de Hadamard da un límite superior de g(z), y el 
segundo da un límite inferior de g,(z). Teniendo en cuenta estos límites 
se llega a la consecuencia de que el orden aparente de eX() es, a lo más, 
igual a p”; es decir, que H(2) es un polinomio de grado a lo sumo igual 
ap. 
Cuando p' no es entero, el grado q de H(=) será interior a p', y como 
que el orden aparente del producto eH()9,(=) no puede exceder al mayor 
de los dos números q y e, deberá verificarse 
o=0p, 
“0 sea que, cuando el orden aparente no es entero, es igual al orden 
teal. 
También comprobamos que en este caso, si p + 1 es el entero inme- 
