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diatamente superior a p, el grado de H(=) es p, con lo cual queda pro- 
bado de un modo definitivo que la función g(2) es de género p. 
Con todo ello hemos conseguido poner en evidencia de qué manera. 
llegó Hadamard a la demostración del teorema recíproco de Poincaré, es- 
tableciendo que, cuando el coeficiente a, es del orden de magnitud de 
——» Siendo p no entero, la función entera %anz” es de género p, 
(m/)0 
siendo p + 1 el entero inmediato superior a p. 
Cuando e es entero, nada se pudo decir como consecuencia del mé-- 
todo de Hadamard; queda la duda de si el género será p o p + 1. 
Esta inseguridad torturadora que indica Hadamard hacia el final de su 
Memoria fué el estímulo más eficaz para que se llevaran a cabo innume- 
rables trabajos hasta conseguir una solución aceptable para este caso in- 
abordable, que se conoce con el nombre de caso de excepción. 
Antes de dedicarnos a su estudio, nos parece oportuno citar, siquiera 
sea a vuela pluma, una modificación del teorema de Hadamard llevada a 
cabo por Edmond Maillet con objeto de darle mayor precisión. 
Maillet enuncia su teorema del modo siguiente: 
«Dado un producto canónico 2;(z) de factores primarios de orden p y 
un número positivo arbitrario e, si se describe alrededor de cada cero un 
círculo de radio 7 finito (ny <= 1 arbitrario). en todo punto exterior a estos. 
círculos se tiene, para r bastante grande, la desigualdad 
[Ga > e. 
La misma desigualdad se verifica para una función entera cualquiera, 
siendo entonces p su orden aparente.» 
El método de Maillet consiste en considerar, no los puntos exteriores. 
a las coronas C,, comprendidas entre dos circulos de radios r, — 1 y 
T- + 1 y con centro en el origen, sino el círculo T,, de radio n < 1 descrito 
desde el punto a, como centro y que está comprendido en esta corona. 
Para la demostración no hay más que seguir paso a paso la de Borel, 
teniendo en cuenta que en este caso para todo punto exterior a I', se 
tiene 
lz — an| 27: 
De esta manera se llega a la relación 
—nlog 2—mlogr— a 9 S 2 + log Y) 
¡G(2)1 > e 
