TERCERA PARTE 
COMPLEMENTOS DE LA TEORÍA POSTERIORES A POINCARÉ 
Hénos aquí llegados al término de una veloz excursión por los trabajos. 
fundamentales de Poincaré y de Hadamard. A pesar de la celeridad con 
que hemos pasado por ellos, creemos haber hecho resaltar su trascenden- 
cia y su fecundidad, y no nos pararemos a repetir una vez más que las 
ideas de aquellos matemáticos, tan profundamente intuitivos, llamaron a 
nueva vida una teoría que ya parecía agotada y exhausta. Sonó la voz del 
genio, y con el poder sobrenatural del Surge et ambula evangélico, 
anunció la resurrección triunfal a una vida eterna. 
Nos incumbe ahora dedicarnos a ver qué desarrollo adquirió la teoría 
de las funciones enteras con la intervención de los continuadores de los 
estudios capitales de Poincaré, y a comprobar, con admiración, cómo ha 
podido llegarse a establecer un cuerpo de doctrina completo para las fun- 
ciones de Hadamard. 
Ocupará nuestra atención, en primer lugar, el complemento aportado 
por Borel a los teoremas de Poincaré. 
En éstos interviene el género de la función, que es un número entero. 
Pero ¿por qué ha de ser entero? Borel no halla razón suficiente y lo re- 
- emplaza en sus investigaciones por el orden real p, número positivo, pero 
que no está sujeto a la condición de ser entero. 
De esta suerte. sus resultados son notablemente más precisos, y logra 
obtener para el módulo máximo una limitación más estrecha. 
Sigamos unos momentos las disquisiciones de Borel. 
Consideremos un producto canónico de factores primarios de gé- 
nero p 
eS E 
F(s =I1 (1 z Je”. IN 
1 Un 
Si r, = |a,|, debe cumplirse que la serie 
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