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puede ser convergente o divergente. Si es divergente, tomaremos 
a=p+.e y se tendrá 
Fl) <esrt+H = erP te. 
Si es convergente, se podrá tomar s =p y será 
¡F(2)| < esr?. 
Ambas desigualdades se cumplen, sea cualquiera e, a partir de un va- 
Jor de r suficientemente grande. 
Segundo caso: p es entero. Si la serie 
-es divergente se tomará s =p +. y se tendrá la misma desigualdad que 
en el caso anterior, y si la serie és convergente, el teorema de Poincaré 
nos permite escribir la desigualdad correspondiente. 
Cuando se verifica 
[Eto] <et*l, 
p recibe el nombre de orden por defecto, y cuando se tiene 
|Fí2)] < esr?, 
se llama orden por exceso. 
No habrá que insistir en la amplitud y el rigor que estas nuevas rela- 
«ciones ofrecen, comparadas con las de Poincaré. 
Otros muchos progresos importantes debe a Borel la teoría de las 
funciones de Hadamard, particularmente el estudio sistemático de las fun- 
ciones de crecimiento regular, es decir, de las funciones cuyo módulo 
máximo M(r) satisface a partir de un cierto valor de ra la doble des- 
¡igualdad 
ere < MN < erf??. 
Pero el estudio de estas cuestiones nos alejaría mucho de las fronteras 
«que hemos asignado a nuestro trabajo, y nos contentaremos con decir que, 
aparte de la monografía a que tantas veces hemos aludido, los resultados 
-de Borel están ampliamente desarrollados en sus Legons sur la theorie 
.de la croissance (Paris, 1910). 
Desde el punto de vista en que nos hemos situado, será para nosotros 
mucho más interesante ver de qué manera se ha logrado completar los 
“teoremas de Poincaré y de Hadamard, llenando las lagunas que sus mis- 
mos autores señalaron. 
En la Memoria de Hadamard, una vez terminada la demostración de 
-su segundo teorema, se leen las siguientes palabras: 
