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«La réciproque du theoreme de M. Poincaré est donc bien établie pour 
e non entier. Si p est un entier p + 1il y a doute. Notre fonction peut étre 
du genre p ou du genre p +1. 
»A canse de ce cas douteux, les recherches précédentes ne permet- 
tent pas encore de résoudre complement la question posée par M. Poin- 
caré dans son Mémoire et de décider si le genre se conserve dans la ditffé- 
rentiation ou dans une combinaison linéaire. Nous pouvons seulement 
affirmer que la dérivée d'une fonction de genre p ou la somme de deux 
pareilles fonctions est en général de genre p et au plus de genre p + 1.» 
Yo no sé qué acentos de amarga queja hay en estas lineas; pero lo 
cierto es que, durante mucho tiempo, fueron una tortura para los analis- 
tas y el duro acicate que les incitó a emprender largos y onerosos traba- 
jos para disipar las densas nieblas que impedían el paso de la luz que los 
brillantes estudios de Poincaré y Hadamard debian dar. 
La gloria de la solución definitiva va unida a los nombres de Boutroux, 
Lindelóf y Wiman. 
Empezaremos por indicar los métodos seguidos por Boutroux. 
Este admirable matemático francés, sobrino del gran Poincaré, dedicó 
su tesis doctoral al estudio de las propiedades de las funciones enteras. 
De su Memoria entresacaremos las cuestiones relativas a las funciones de 
Hadamard; pero hemos de advertir que en ella ocupan amplio lugar los 
«desarrollos de la teoría de las funciones de orden infinito, extendiendo a 
éstas los resultados anteriormente obtenidos. 
Boutroux se propone poner de manifiesto que el modo de crecimiento 
de una función entera es su propiedad característica, resultando un ele- 
mento distintivo de mayor potencia que el género. Pero para que este 
elemento pueda ser utilizado, es preciso definirlo con más exactitud. 
Hemos visto que Hadamard logró obtener un límite superior del nú- 
mero de ceros de una función entera, interiores a un círculo |z|] = r. Se 
ha demostrado que si el módulo máximo verifica la desigualdad 
M(r) < evo, 
se tiene 
n<CV(r)  (C const. finita). 
Por su parte, Borel obtuvo un límite superior para un producto canó- 
nico G(z), demostrando que la desigualdad, cumplida a partir de un 
cierto n 
pe 
Ta > no+a, 
