Si 
lleva como consecuencia 
[Ge] < er? +s, 
siendo p el orden real del producto de factores primarios. 
Pero Boutroux quiere dar una representación asintótica del módulo 
máximo con la mayor exactitud posible, y para ello se propone, ante todo, 
obtener para M(7) un límite superior más preciso que el de Borel. 
A primera vista no puede decirse hasta qué punto llega la relación ob- 
tenida entre el crecimiento de M(7) y el número n, ni si es necesario, para 
alcanzar una mayor precisión, poner en juego elementos que aumenten 
las dificultades del problema. 
Borel sostuvo el criterio de que para puntualizar los resultados era 
indispensable tener en cuenta los argumentos de los ceros. A esta conclt- 
sión llegó Borel por la consideración de las funciones 
1 
sen Tz y To” 
cuyos ceros tienen los mismos módulos 1, 2, 3, ...; pero cuyos módulos. 
máximos son proporcionales, respectivamente, ae” yar”. 
«On voit donc, dice Borel, que les considerations développées jus- 
qu'ici ne permettent pas d'atteindre une précision assez grande pour dis- 
tinguer entre elles la croissance de ces deux fonctions... On pourrait 
tenir compte des arguments des zéros, dont il n'a pas été question jus- 
qu'ici. On devrait, par exemple, expliquer la différence que nous venons 
de signaler entre et sin z par le fait que les zéros de la premiére de 
1 
(2) 
ces fonctions ont tous méme argument, tandis que pour la seconde les ar- 
guments ont deux valeurs qui different de r.» 
Afortunadamente, las funciones retraidas por Borel entran en el caso 
de excepción, y Boutroux consigue probar que en general hay derecho a 
prescindir de los argumentos de los ceros. 
Para llegar a este importante resultado, Boutroux tiene necesidad de 
evaluar unas integrales definidas, cuyo cálculo resumiremos a conti- 
nuación. 
imaginemos un producto canónico G (z) de género p y representemos 
por r; (¿= 1,2, 3, ...) los módulos de sus ceros, ordenados en sentido cre- 
ciente. Dados los r;, es siempre posible formar una función vw (x) tal que 
para x = í tome el valor r;, La generación de tal función se consigue con 
una fórmula de interpolación cualquiera; pero en nada se merma la gene- 
ralidad suponiendo que dicha función es holomorfa, real, positiva y cre - 
ciente cuando x varía de 0 a oo. 
