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Esto sentado, elijamos dos números positivos m y n(m<n)y4>0 
y busquemos los límites superiores de las sumas: 
3 loop y 2lo(MFA 
m>+1 n+1 
En lugar de estas sumas podemos estudiar las integrales 
f A [o(m]-tdx y Jlotojaz. 
Para obtener un límite superior de estas integrales se sustituye w(x) 
por (1) que sea menor que v(.x), pero elegida de tal suerte que las inte- 
grales 
I=/" Worlax, 1 = fFluotaz, 
sean calculables, admitiendo un límite para la segunda. Para que esta afir- 
mación sea admisible hay que ver qué hipótesis es preciso sentar para y(x)... 
Lo más sencillo es tomar para y(x) una potencia de x. Sabiendo que 
dado el orden real p, se tiene 
1 
ri¡>i0+0, 
podriase admitir 
1 
pla) = xe+a 
Esta elección nos llevaría al metodo seguido por Borel. Pero es posi- 
ble asignar a r; un límite inferior más preciso, tomando, por ejemplo, 
en! di 
r;>if+%(log ¿9 (o finita). 
Las hipótesis que impone Boutroux y que hacen posible la limitación 
de l e I, son: 
Hagamos variar x de m a n y supongamos que existen dos números 
positivos y y v, tales que las funciones ; 
uE y 
EE 
sean crecientes, o cuando menos no decrezcan. Cabe entonces distinguir 
tres casos: 
, a y 1 
Primer caso. p.es inferior a —. 
A 
Expresemos que las derivadas logarítmicas de las funciones 
yA s ql 
Rev. ACAD. DE CIENCIAS. 1929. 9 
