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En esta desigualdad se puede dar a A el valor log ( + y] y si toma- 
se podrá escribir 
1 
mus y = rie 
¡G(2)| > e”. 
Nos toca ahora comparar los resultados obtenidos. Como que p no es 
entero, se puede elegir la función Y de modo que coincida con la vw para 
una infinidad de valores de x. Luego, para una infinidad de valores de 
r el número n queda determinado por la igualdad r = nr, donde y puede 
a 1 : , 
suponerse inferior a 5; Para estos valores se tiene n = 1. 
Este es el caso corriente en las aplicaciones. 
Podemos. en consecuencia, enunciar, para.este caso, la proposición si- 
guiente: 
«Si se designa por n el número de ceros cuyo módulo es inferior a 
1 
yr (n < <| se podrá, a partir de un cierto valor de r, poner 
9 p 
Mí”) = ex, 
siendo A un número positivo finito. Esta igualdad expresa en resumen to- 
das las propiedades del módulo máximo. » 
En el caso de una función a crecimiento regular, el teorema puede 
enunciarse del siguiente modo: 
«Si se tiene a partir de un cierto valor de í 
E 
r¡=hi? (Ah positivo finito), 
se tendrá a partir de un cierto valor de r 
M(r) = en rl (h* positivo finito).» 
La recíproca de esta proposición ya fué en parte establecida por Borel 
cuando demostró que la doble desigualdad 
ef Z< Min < ett 
lleva como consecuencia, a partir de un cierto valor de ¿, 
fo. e 
AE EAT NE 
Boutroux ha completado este resultado valiéndose de la desigualdad 
fundamental antes establecida. 
Designando por r la función inversa de (1), demuestra que la igual- 
dad 
M:r) = e%x  (h positivo finito). 
