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Para ¿ > n, volveremos a utilizar la desigualdad r; > »'%(¿) para ob- 
tener 
00 
nn, q , Ha 
Pl FDA < a AIZER << cp+1(1 A a)K¡P+1K0-p 17;. 
Haciendo entonces 
K,=KiB (0<8$<0D, 
se tendrá | 
Km, <K0-B)ÓA-P(1 + 07, 
KP+1K0=P-1p, < K-Blo+1-01 + an. 
Llevando todos estos valores a la desigualdad que limita |G(2)] resulta 
finalmente 
Mr) < ex  (c>0finito), 
y siendo K arbitrariamente grande, salta a la vista la incompatibilidad con 
lo supuesto. Queda, pues, por reducción al absurdo, demostrado el teo- : 
rema. 
Referido a una función de crecimiento regular, el teorema se enun- 
cia así: 
«La condición necesaria y suficiente para que el módulo máximo M(r) 
sea, para cualquier valor de r, igual a la exponencial e»r?, en donde h es 
rn 
un número finito, es que la razón — sea finita, cualquiera que sea n.» 
n 
Los anteriores resultados conducen a la conclusión de que el orden de 
magnitud del módulo máximo de una función de Hadamard queda determi- 
nado por el número de ceros contenidos en el círculo de radio r que tiene 
por centro el origen. 
Supongamos ahora que el orden p de G(z) sea entero e igual a p. 
Con ello no hay que introducir modificación alguna en la demostración 
de la desigualdad 
MRE 
pero, en cambio, al buscar un límite superior de M(r), la cosa cambia de 
aspecto. Haciendo p = p en la desigualdad 
, nz dx ¡2 1 dx sw dx 
log |Gí2)| < gr? + ar] LIO AE bi jgo + brP+1 » parda 
se ve que todas las integrales del segundo miembro tendrán el mismo lí- 
mite que en el caso general, a excepción de la integral 
n dx 
J m [b(a)]P * 
