E 
Teniendo presentes las precedentes consideraciones, vamos a obtener 
un límite inferior del producto estudiado. Pongamos 
n =Rk>+y. 
Se verifica 
-1 
— 4 Ye z EEC 
> e-s-vlogn!+ Y logí  (g >0 finito), 
o bien 
Y 
Le a ÍA : A a A ia 
0 Ea > ener mlozs e 0gxdx »> e-g1v—v(logx'—log v) . 
1 
Puesto que v < 1 
y por consiguiente, 
Además, 
1 
k 
Inf E, zp) > e—gk—klogn!'+ P£logzdxz > e-lun”, 
r E 
m £ 
Llegamos al siguiente resultado: 
n' Pl S 
ERE —hn' 
a li al > a y 
Podemos enunciarlo en la forma que sigue a continuación: 
«Si el orden e no es entero, se tiene sobre una infinidad de círculos C 
de radios indefinidamente crecientes 
[G(2)| > e-hxz (A finito)», 
dando así toda generalidad al teorema de Hadamard. 
En posesión de este resultado, logra Boutroux completar adecuada- 
mente el criterio de crecimiento de las funciones de Hadamard de orden 
entero. 
Siendo p el género de la función, la serie 
1 
za 
es divergente, y de ello resulta que el número n' de ceros de módulo in- 
ferior a r será, en general, superior a cr? (c const. finita). De ahí que el 
módulo máximo cumpla la condición 
Mír) > err?P  —(h positivo finito). 
