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sea semiconvergente y tenga por suma — A, y en tal caso puede verifi- 
- Carse a partir de un cierto valor de n 
u 1 
3, HL < 
2 LN 
por pequeño que sea s. Y como que se cumple la desigualdad funda- 
mental 
¡G(2)er(2] < eto 
y hemos supuesto n < er?, tendremos 
¡F(2)| < es?, 
siendo e un número tan pequeño cuanto pueda imaginarse. Resulta en- 
tonces que el módulo máximo pierde todos los caracteres que distinguian 
esta función de género p de las funciones de género inferior. 
La función F(z) puede crecer menos rápidamente que algunas funcio- 
nes de género p — 1. Tenemos, pues, un caso excepcional que presenta . 
dificultades especiales, y la resolución de éstas permitió a Boutroux dilu- 
cidar las presunciones indecisas de Hadamard. 
Sea f,(2) una función de género p a la cual añadimos una función f2(z) 
de género inferior a p. Si f,(z) no presenta las anomalías que antes indi- 
camos, tendremos en una infinidad de círculos 
lAlzl>er?, fal <er?, 
representando A un número finito y e un número arbitrariamente pequeño. 
Se tendrá entonces 
A +ASI> err?, 
lo cual demuestra que la suma f,(2) + fa(z) es de género p. Se puede 
afirmar que es imposible que f,(=) sea la suma de dos funciones de ge- 
nero inferior a p. 
Pero si f,(z) se encuentra en el caso a que antes hemos aludido, ocu- 
rrirá que 
Ala +falz!<eeP  (< arbitr. pequeño), 
lo cual no nos autoriza a afirmar que f, + f. sea de género p. 
Y llegamos al punto culminante del trabajo de Boutroux. Vamos a de- 
mostrar con un ejemplo que /a suma de dos funciones de género p pue- 
de ser de género p + 1. 
Sea f1(z) un producto canónico de género cero que tenga todos sus 
ceros a; reales y positivos. Es claro que lf,(2)| toma el mismo valor cuan- 
do se dan a z dos valores imaginarios conjugados. Estudiaremos, pues. lo 
que pasa a f,(2) cuando z está por encima del eje real. Suponemos que, 
