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aparente p finito. Sean y,(2) y go(z) dos funciones enteras cualesquiera de: 
orden aparente inferior a p. En el conjunto de funciones 
p(z) . F(z) — qa(=) 
hay una a lo más cuyo orden real es inferior a p» (1). 
Wiman fija del modo siguiente el caso excepcional. Sean G(z) y g(2) 
dos funciones de Hadamard, y M(r) y m(r) sus módulos máximos respecti- 
vos, suponiendo que el orden de M(r) es superior al de m(r). Entonces, la 
relación Boutroux-Lindelóf entre el módulo máximo y la densidad de los 
ceros de una función de Hadamard debe existir para la función G(2) o si no. 
para toda función G(z) + g(z). 
De esta proposición fundamental surge una consecuencia de gran im- 
portancia: existen funciones de Hadamard de género p cuya derivada es 
de género p — 1. 
Para llegar a este resultado, comienza Wiman por establecer una con- 
dición necesaria para que G(2) pertenezca al caso de excepción. 
Supongamos que G(z) es un producto canónico, cuyos ceros tengan por 
módulos 
EME ia 
y sea p el exponente de convergencia de esta sucesión. 
Si pes el género de la función, podremos distinguir dos casos: 
1.2 p=pg-—1. Hemos de hallar el límite superior del módulo de la 
función siguiente, que escribiremos, empleando las notaciones de Weier- 
strass: 
El Zz pad ASA o 
1 (9/7 e 
Hagamos la descomposición 
a =lE (E, p= 1) 5 U a , 0-1) Me 021) 
1 Un +1 
siendo ny un entero que puede elegirse tan grande como se quiera. 
Sabemos ya que, siendo z un número comprendido entre p — 1 y p, se: 
tiene 
NR 
del 01) |<.ew 
para valores de r suficientemente grandes, y para « arbitrariamente pe- 
queño. 
(1) Hadamard, en sus conferencias, no se ocupó del teorema de Picard; 
por esto no nos detenemos en su demostración, enviando para todos los deta- 
lles al último capítulo de la monografía de Borel. 
