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» Además, sobre estos círculos la recíproca del límite inferior de |G(2)| 
no puede ser de orden de magnitud superior al del módulo máximo 
M(G).» 
Este resultado da nueva precisión al conocido teorema de Hadamard. 
Enunciaremos con toda generalidad: 
«Existe una infinidad de círculos de radios indefinidamente crecientes, 
en los cuales la inversa del limite inferior de |G(2)] es, a lo sumo, del 
mismo orden de magnitud que M(7).» 
Todo ello se extiende sin dificultad de mayor cuantía al caso general 
en que se tiene una función de Hadamard 
F(z2) = en G(2). 
De los desarrollos que anteceden se deduce el teorema fundamental 
siguiente: 
«Sea M(r) el módulo máximo de una función de Hadamard G(2) y r,. el. 
módulo de su n* cero. Sea g(z) una función entera cualquiera tal que, 
siendo m(r) su módulo máximo, el orden de m(r) sea inferior al de M(r). 
Sean, además, MW (r) y r, (1 el módulo máximo y el módulo del n* cero 
- de la función G(=) + g(z). Supongamos que el orden de M(r) y el de 
M(7), que son iguales, sean de la forma 
erbr (log 7) Br... (log) Bn ; 
En estas condiciones, si el orden de r, es superior a 
1 
[n (og ny... (log) »)-Bw] Br, 
el orden de r,W es precisamente el que acabamos de escribir. » 
La consecuencia interesante que puede sacarse de este teorema es 
que las analogías que relacionan una función entera G(2) y una exponen- 
cial, ya no subsisten para la función G(2) + g(z). Podemos, por consi- 
guiente, caracterizar a G(z) como un caso de excepción. 
El caso de excepción se distingue por la reciprocidad observada entre 
el límite superior y el límite inferior del módulo, de manera que las pro- 
piedades del límite inferior se alteran esencialmente por la intervención 
de una función de orden inferior al de la función excepcional. 
Una función perteneciente al caso de excepción es la considerada por 
Borel: 
G(z) = = eczz[] [1 — z,) e nr  (C=const. Euler). 
DN 
1 
T(z) 
