A 
Si conocemos, pues, la función de fuerzas U(x, y, 2), las curvas (bra- 
quistocronas) que hacen mínima esta integral, y, por tanto, el tiempo que 
tarda el punto en ir de A a B, se obtendrán integrando el sistema [56], 
Ulx,y, 2 +A 
c/[Utx, y, 2) + h]?— m2ct 
Braquistocrona en un campo constante.—Vamos a hacer esta in- 
tegración en el caso particular en que el campo sea constante, con lo 
cual encontraremos la curva braquistocrona, por ejemplo, para la gra- 
después de haber sustituido en él y(x, y, z) por 
vedad. 
Añadiremos, como en Mecánica clásica, las siguientes condiciones: 
que A esté más alto que B y que el punto móvil parta de A sin velocidad 
inicial. 
Tomaremos los ejes de referencia pasando por la posición inicial Á, 
de modo que Xo = Yo = 2. = 0, y el eje + 2 paralelo en dirección y sen- 
tido a la fuerza constante mo que actúa sobre el punto cuya masa en re- . 
poso es m, y siendo 2 (como se designa en el primer capítulo) la fuerza 
que actuaría sobre el punto cuya masa en reposo fuese la unidad. Por la 
razón que en seguida se verá, tomaremos uno de los ejes restantes + x, 
situado en el semiplano zB. 
Planteado el problema en estas condiciones, escribiremos la integral 
[58] que da el tiempo, calculando antes la función U y la constante A. 
Se tiene 
Es De Ej 0) 2-5 711,05 
luego 
U(xyz) = fmgdz = mgz, 
de donde 
U(*oY0%0) ES 0, 
y si además, como hemos supuesto, es v, = 0, se tendrá 
h= me?. 
Sustituyendo en [58] 
ES E mgz + mc? EA: des ga+e? 
2 dis 
(a) CV (mgz + mo? — mict a) CV (ez + e? — et E 
y la función e (x, y, 2) correspondiente a este caso es, pues, 
ga +.e? [59] 
o(x, y, 2) = Vie Loya 
Esta función sólo depende de z; luego si en Mecánica clásica nos 
planteásemos el problema (equivalente al que estamos estudiando) de la 
