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[o Se) = () obtenemos una familia de curvas dependiendo | 
de dos constantes a y b; una de ellas se elimina, según hemos visto, con- 
siderando sólo, como exige la condición inicial del problema, aquellas 
curvas que pasan por el origen, y nos ha quedado asi un haz de curvas de- 
pendiendo del parámetro a. 
Podemos añadir ahora que todas estas curvas braquistocronas tienen 
por tangente en el origen al eje z. En efecto: de la ecuación diferencial 
[60] se deduce 
eundo orden dl 
dx a  acVge?+09gxe? 
— A A A AAXAb 
ds e ga+.c 
que da el coseno del ángulo que forma la tangente en cada punto con el 
. d. | 
eje x. Para 2 = 0 resulta A = 0; este coseno es nulo, y, por tanto, la 
tangente es normal al eje .r. ; 
Para la integración de la ecuación diferencial en cuestión hemos con- 
siderado tres casos, resultando que; 1.” Aquellas curvas del haz para las 
1 ee a 
cuales sea el parámetro a > —, pueden expresarse analíticamente median- 
€ 
te las ecuaciones [67]. 2.” Aquellas para las cuales sea a < —, median- 
te las [68]; y 3.” La curva del haz correspondiente al valor de a = - , me- 
diante las [69] o [70]. Esta última es, pues, una curva que queda perfec- 
tamente determinada así que se da el campo constante 2, muy próxima, 
como decíamos, para el caso de la gravedad al eje z, y divide al cuadran- 
z ' 1 
te en dos regiones; en una de ellas están las curvas a < ¿YEN la otra 
1 ” L4 
las a > mE de modo que según que el segundo punto B esté en una o en 
otra región o en esta curva, escribiremos las ecuaciones [67], [68] o [69], 
como representativas de la braquistocrona entre este punto y el origen A. 
> 1 : ¿ , 
La región en que a < E es la que contiene al eje z, que puede consi- 
derarse como una de las curvas del haz, puesto que para a =0 queda la 
Re , : ; dx 
ecuación diferencial [60] convertida en E 0, o sea dx = 0, de la que 
se sigue por fin « = 0 (eje z). Esta región se anula en Mecánica clásica, 
puesto que la curva [70] que separa ambas regiones se confunde, según 
hemos visto, con el eje 2 parac=00, 
