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En cuanto a las curvas situadas en la otra región, podemos decir que 
las funciones elípticas que las representan, degeneran en circulares para 
) l 
la Mecánica clásica, puesto que siendo en ellas el módulo k= ao tiende 
éste a cero al tender c a w.. Como se sabe, son funciones circulares las 
que intervienen en la ecuación de la cicloide (braquistocrona clásica). Po- 
dríamos hacer en las fórmulas [67] el paso al límite c = oo para llegar a 
la ecuación de la cicloide; pero, por quedar la expresión que da .r bajo 
forma indeterminada — 00 + 00, y por ser laboriosas las derivaciones que 
exige entonces el cálculo del verdadero valor de dicha expresión, nos li- 
mitaremos a hacer c = oo antes de la integración, o sea en [61]. Por la 
sustitución directa c = vo queda también la cantidad subradical bajo for- 
4 A 00 ; Ll 
ma indeterminada 20 + Pero después de dos derivaciones en el numerador 
y denominador, se obtiene para c = oo 
ep y | 
2atga 
1 =2a?g2 
dz, 
1 
y haciendo o. = R, resulta por fin 
PA paa 
que es la ecuación diferencial de la cicloide. 
La periodicidad de la función € = snu, siendo real uno de sus perío- 
dos 4K, y considerada esta función como de variable real u, nos indica 
que para un mismo valor de £, y, por tanto [62] de z, la integral de pri- 
mera especie u puede adquirir infinidad de valores difiriendo cada uno del 
anterior de la cantidad constante 4K. Además, la integral de segunda es- 
pecie que aparece en la expresión de .x, o sea la Je sniudu de la fórmula 
[66], experimenta incrementos iguales (designados por 2)) cuando se va 
aumentando sucesivamente u en 2K (1); lo mismo sucede, por tanto, 
cuando se aumenta u en 4K; de donde resulta, en resumen, que la absci- 
sa x dada por [67], tendrá, en una curva determinada. infinidad de valo- 
res separados por intervalos iguales para un valor dado de z (a menos que 
éste haga imaginario el radical subintegral de [61')) o, lo que es lo mismo, 
que si una paralela al eje x tiene algún punto común con la curva, tendrá, 
además, otros infinitos equidistantes cada uno del anterior, y, por tanto, 
la curva en cuestión constará de varios lazos iguales, de los cuales se con- 
(1) Appell Lacour, Principes de la théorie des fonctions elliptiques, $ 150, 
