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que coinciden, como es natural, con las de Planck. Así, pues, el movi- 
miento del punto sobre el plano tendrá lugar como si actuase sobre él, 
considerado como libre, una fuerza, situada en el plano, proyección sobre: 
el mismo de la fuerza en el espacio. La conclusión es evidente, y todo 
coincide con lo que se verifica en Mecánica clásica. 
Así, pues, en un campo de fuerzas constante £g, el movimiento de un 
punto sobre un plano oblicuo de un ángulo 0, respecto de la fuerza (plano 
inclinado en la gravedad), será el mismo que si este punto estuviese libre 
y actuase sobre él una fuerza constante g cos 0, proyección de y sobre el 
plano. Este problema es uno de los resueltos por el profesor Jiittner en el 
artículo citado, y encuentra como trayectoria del punto una curva perte- 
neciente a la familia de las catenarías. 
Movimiento de un punto sobre una superficie esférica en un cam- 
po constante.—Supondremos, para abreviar, que la masa del punto en 
reposo es igual a la unidad. Referiremos el movimiento a tres ejes rec: 
tangulares con el origen en el centro de la esfera, y supondremos el eje 
+ 2 con la misma dirección y sentido que la fuerza constante y. De modo 
que Fx = Fy = 0, F¿= g. Para resolver el problema trataremos de de- 
terminar dos relaciones finitas que liguen el tiempo con los mismos pará- 
metros 0 y z que en Mecánica clásica se emplean para definir en este pro- 
blema la posición P del punto en la superficie esférica; 0 es, como se sabe, 
el ángulo formado por los planos 2P y zx. Así, pues, tomaremos como 
ecuaciones paramétricas de la superficie esférica las que vienen dadas en 
coordenadas semipolares 
EOS ASE == [81] 
en las que, aunque son variables r, 0 y z, no son las tres independientes, 
sino que debe considerarse r como función de z (r = Vo 2 siendo / el 
radio de la esfera). 
No haremos, sin embargo, por ahora, esta sustitución y seguiremos 
designando por r este radical. 
De estas ecuaciones puede deducirse la expresión de v? que es 
vi=r4+r02+232, 
y, por tanto, la de L 
L=-—cV e? —(r2+ 120-4212) 
y de sus derivadas 
A _p dor! cr?” 
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