CA e 
El sistema de representación, que ligeramente se reseña en el articulo 
que acabamos de reproducir, no coincide con el propuesto por el señor 
D'Ocagne, sin que sea preciso entrar aquí en un examen detenido de sus 
diferencias esenciales; pero creemos que es, como antes decíamos, el pri- 
mer ejemplo de representación plana del espacio de cuatro dimensiones; 
representación que, con mayores desarrollos, aparece ya en la obra de 
P. H. Schoute: Mehrdimensionale Geometrie (Erster Teil. Leipzig, - 
1902, págs. 84-125), publicada ocho años más tarde. 
Con anterioridad a aquelia fecha, sólo ha llegado a mi conocimiento 
un trabajo de Veronese publicado en 1882 en los Afti del Reale Institu- 
to veneto di scienze, lettere ed artií (5, VII, 981-1.025), que lleva por 
título «Sulla geometria descrittiva a quattro dimensioni»; pero en él sólo 
se trata de una proyección central del hiperespacio sobre el espacio de 
tres dimensiones (1). 
+ 
+ E 
Tanto en el sistema de representación propuesto por D'Ocagne, como 
en el indicado por mí y desarrollado por Schoute, existen como elementos : 
esenciales en el plano de la representación dos ejes fijos, a los cuales se 
refieren las coordenadas del par de puntos. Estos elementos fijos, puntos, 
rectas o curvas de una u otra forma, son inevitables siempre que se trate 
de representar sobre el piano ei espacio de tres dimensiones, puesto que 
las cuatro coordenadas han de estar ligadas entre sí por una ecuación, tal 
como 
/(01, B1, %, Ba,) =0, 
que definirá una familia de curvas con dos parámetros, en corresponden- 
cia con los puntos del plano (2); pero al tratar de representar el hiper- 
espacio, puede, en rigor, prescindirse de esta sujeción, dado que el par 
de puntos puede ser compietamente arbitrario. 
Sin embargo, si un par de puntos arbitrario sobre un plano representa 
siempre un espacio de cuatro dimensiones, la naturaleza geométrica de 
este espacio no quedará con eso sólo definida, sino, a lo sumo, para aque- 
llas propiedades cuyo estudio corresponde al Análisis situ. Para una de- 
(1) Al mismo orden de ideas pertenece el trabajo del mismo autor publi- 
cado en igual año en los Mathematischen Annalen (tomo XIX, págs. 161-234): 
«Behandlung der projectivischen Verháltnissen der Ráume von verschiedenen 
Dimensionen durch das Prinzip der Proticirens und Schneidens». 
(2) Las curvas pueden reducirse a rectas paralelas. Entonces el elemento 
fijo se reduce a un punto que se aleja al infinito. 
