ET 
, — 479 — 
terminación completa, sería necesario definir la distancia entre dos pun- 
tos, y con ello sería bastante para que todas las demás propiedades pudie- 
ran ser conocidas con absoluta precisión. 
Ahora bien: si adoptamos como definición de distancia la misma que 
resulta del sistema de representación expuesto, podremos prescindir de 
ejes coordenados, y el hiperespacio definido será euclideo, porque podrá 
hacerse coincidir con cualquiera de los que resulten de ejes coordenados 
escogidos arbitrariamente. 
A pesar de esta indeterminación de les ejes, no hay que creer que 
queden igualmente indeterminados todos los elementos del hiperespacio, 
definido tal como acabamos de hacerlo. Algunos pueden, desde luego, 
distinguirse, y entre elios, muy especialmente, el lugar de los puntos cu- 
yas dos proyecciones coinciden, el cual se ve inmediatamente que es un 
plano que podemos suponer coincidente con el plano de la representación, 
semejante a él y con una relación de semejanza igual a Vo. 
Este plano, que podemos llamar fundamental o axial, porque alrede- * 
dor de él se agrupan simétricamente todos los elementos del hiperespacio 
representado, podrá servir de elemento de referencia, con relación al cual 
es evidente que ocupan posiciones iguales los puntos representados por 
pares de puntos de igual distancia mutua. Todos estos puntos formarán un 
hipercilináro de eje plano, cuyo radio será la común distancia de dichos 
puntos al plano fundamental. Esta distancia será, como fácilmente se ad- 
vierte, la de los puntos del par dividida por y 2. 
La representación de las líneas se reducirá, en general, a una corres- 
pondencia entre los puntos de dos líneas situadas en el plano de la repre- 
sentación. Como caso particular, estas dos líneas podrían coincidir o po- 
dría también una de ellas reducirse a un punto. Si las dos líneas coinciden, 
la correspondencia tendrá, en general, puntos dobles, reales o imagina- 
rios, que estarán situados en el plano fundamental, el cual será cortado 
por la línea representada. Si una de las líneas se reduce a un punto, el 
plano fundamental no será cortado más que en el caso de que el punto se 
encuentre sobre la otra línea. Si la correspondencia se establece sobre lí- 
neas diferentes, la línea representada no cortará, en general, al plano 
fundamental, y sólo ocurrirá así cuando los puntos de intersección de las 
representaciones sean puntos correspondientes consigo mismos. 
Una superficie vendrá representada por una correspondencia entre 
puntos del plano. En este caso, habrá, en general, puntos dobles, que se- 
rán los de intersección de la superficie con el plano fundamental. Podrá 
ocurrir que todos los puntos del plano, considerados como primera o se- 
gunda proyección, tengan como correspondientes puntos de una línea fija. 
