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Entonces, a los puntos de esta línea, considerados como proyecciones de 
nombre contrario, corresponderán en el plano líneas sobre las cuales se 
encontrarán sus correspondientes; pero, en general, estas líneas no pasa- 
rán por aquellos puntos sino en casos singulares, .y la intersección con el 
plano fundamental seguirá compuesta de puntos aislados (1). 
También podrá ocurrir que todas estas líneas variables se confundan 
en una sola, y entonces la superficie vendrá representada por dos líneas 
primera y segunda, sobre las cuales se podrían escoger arbitrariamente 
las proyecciones del mismo nombre. Los puntos de intersección de estas 
líneas serían, evidentemente, entonces los puntos dobles representativos 
de la intersección de la superficie con el plano fundamental. 
Las dos líneas podrían aún confundirse en una sola, de la cual todos 
los puntos serían puntos dobles, y la intersección entre la aacrada y el 
plano fundamental será ahora esa misma línea. . 
Los lugares de tres dimensiones vendrán, a su vez, representados por 
una correspondencia entre los puntos del plano y las curvas de una fami- 
lia de dos parámetros. Sobre cada curva habrá un punto doble, y la inter- 
sección con el plano fundamental será una línea. En el caso particular en 
que cada punto estuviera sobre su línea correspondiente, todos los puntos 
serían puntos dobles, y el plano fundamental estaría todo él contenido en 
el lugar considerade. 
Si nos limitamos ahora a considerar las líneas rectas, las superficies 
planas y los espacios euclídeos, veremos en seguida que la recta estará, 
en general, representada por dos rectas, entre cuyos puntos se establece 
una cierta correspondencia. La recta, en efecto, vendrá determinada por 
dos de sus puntos A(a, a”) y B(6, 6'), y para que un tercer punto C(c, c”) 
pertenezca a ella, será preciso que c esté sobre ab, c', sobre ab” y 
que c divida al intervalo ab en la misma relación que c' a a'b'. Sólo de 
este modo quedará satistecha la condición tundamental para que los tres 
puntos A, B y C estén en línea recta, a saber: 
AB. 150.32 CA. =.0, 
(1) En el caso particular en que la línea fija se reduzca a un punto, la pro- 
yección de nombre contrario quedará completamente indeterminada y la su- 
perficie se reducirá a un plano, que cortará en ese punto al plano funda- 
mental. 
