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ACNE o a Uds, 
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que puede escribirse con más claridad para nuestro caso: 
luego 
Ó bien 
Pero el numerador significa, que en cada punto de la su- 
perficie de la esfera s hay que multiplicar el valor que le 
corresponde de U por su área y hay que sumar todas estas 
cantidades positivas. Después la suma hay que dividirla por 
el área total de la esfera; y esto es hallar el valor medio de 
la armónica sobre la misma esfera. De modo que la ecuación 
nos dice, que este valor medio sobre la estera arbitraria que 
hemos trazado es el valor de la función armónica U (a, b, c) 
en el centro de la esfera. 
Como el punto 4 es arbitrario y es arbitraria la esfera, 
tenemos esta proposición, que es general, que puede ser 
útil, y que de todas maneras es curiosa. El valor medio de 
una armónica sobre una esfera arbitraria trazada en su cam- 
po es igual al valor de dicha armónica en el centro de la 
esfera. 
Y nótese una vez más, que vamos obteniendo una serie 
de propiedades importantes de las armónicas, Ó sea de cier- 
tas integrales de la ecuación de Laplace, sín necesidad de ha- 
berla integrado. 
Verdad es que nos fundamos en el conocimiento de una 
integral particular — al menos para la demostración de 
ciertas propiedades. 
