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Es tan absoluta la simetría de los primeros miembros de (C), que, si 

 sucesivamente reservamos cada una de las incógnitas para la ecuación 

 final, obtendremos cuatro (m — \) ecuaciones finales, idénticas en sus 

 coeficientes: 



'K«) = 0, ',(,b) = 0, ?(c) = 0, í(í/) = 0, (D) 



cualquiera de las cuales nos dará todos los valores posibles para a, 6, c, d. 



Es absurdo, y, por lo tanto, no puede suceder que sus raíces sean 

 /?, q, r, s... p' , q' , r\ s' ... distintas de a, b, c, d..., porque entonces re- 

 sultaría que y tendría más de /tz = 5 vajores o raíces, lo cual queda dicho 

 que es imposible. 



Igualmente absurdo es suponer que la ecuación final contuviese i 5 — x 

 soluciones útiles y x soluciones extrañas, cuando las condiciones del pro- 

 blema exigen que las |5 = 120 raíces sean útiles y necesarias: primero, 

 porque al eliminar incógnitas y aislar cualquiera de ellas en las ecuacio- 

 nes (D), ha desaparecido todo rastro de la coordinación que elegimos para 

 desarrollar la determinante, cuyos coeficientes son los primeros miembros 

 de (C); y, como cualquiera de las determinantes de las matrices Coinci- 

 dentes pudo servidnos para plantear el problema, es evidente que la ecua- 

 ción final no respondería a sus propias y necesarias condiciones algebrai- 

 cas si no contuviese todos los elementos que concurren a la formación de 

 las matrices coincidentes, de modo que nunca pueda faltar la coordinación 

 que sirvió de base. Segundo, porque asignados valores numéricos a di- 

 chas raíces, a, b, c, d, éstas han de ser en número suficiente para formar 

 todas las coordinaciones correspondientes a las ecuaciones numéricas dis- 

 tintas, pero procedentes de todas las matrices coincidentes de su grado. 



Concluyo, pues, afirmando que las \m = 120 raíces de las ecuacio- 

 nes (D) son los 120 elementos de uno cualquiera de los preinsertos cua- 

 dros. 



Sean a', a", a'"... los valores hallados para los elementos ar^, ar.¿, 

 ar^...\ b,' b" , b'" ... para br^^, br^, br.¿,.., etc., etc. Es evidente que exis- 

 tirán las igualdades ar^ = a', ¿zrg = a"... br^ = b'..., y lo mismo ocurri- 

 rá con los demás elementos; luego la ecuación final que analizamíTs estará 

 formada por series de factores simples de la forma siguiente, llamando 

 a una cualquiera de las raíces 



(2 — ari)(0 — ar2){s — ars){z — ar^{z — ar¿) = # — «^ = O, 

 ' (s — br^){z - br2)iz — br¿)iz — brj){z — br^) = ^5 _ ¿,5 ^ q, 



{z ~ cri) = ^5 _ c5 = O, 



iz — dr^) = ^5 _ ^5 ^ 0; 



