- 51 - 

 X, Z, esta ecuación se convertirá en 



X -zKl 



X2 = Z^' L [9] 



donde, examinando lo que las letras mayúsculas representan, veremos 

 desde luego que, en el primer miembro, hay términos que contienen b"^^ 

 y 6^2 que no pueden ser anulados por términos del segundo miembro, don- 

 de los exponentes de b no alcanzan tales cifras. Resulta, pues, que tan- 

 to a, como b y como c, vienen dados por ecuaciones de la forma prevista 

 y que necesariamente han de ser iguales, puesto que representan lo mis- 

 mo: los elementos de las matrices coincidentes. 



La sencillez de la determinante del cuarto grado nos permite emplear 

 un método rápido para llegar a una ecuación de b que no contenga raíces 

 repetidas. 



En [1], [2] y [3], podemos hacer: 



Aac = — ( 2¿)2 + P) 



4 



Q Q- 



a^ + c2 = — -^ ; a^ + 2¿z2c2 + c^ ^ 



a^ + 2a2c2 4- c^ - 4a^c^ 4- 4acb^ — b^ + R = O 



y sustituyendo 



Q2 (2¿)3 + P)2 



62 (262 ~{-F)-b'' + R = 



1662 4 



6466 4. 32p¿,4 _ (4p2 _ 1 6R) ¿,2 _ Q2 = o [1 0] 



Esta ecuación [10] es un factor de la ecuación [9]: supongamos que sus 

 raices son 



±a', ±6', ±c', [11] 



las cuales no están ligadas por relación ninguna, supuesto que P, Q, R, 

 pueden corresponder a todas las ecuaciones de tercer grado; si corres- 

 pondiesen a una 6 invariable, estarían ligadas por el hecho de que esta 

 letra debiera aparecer siempre con su valor numérico, multiplicado suce- 

 sivamente por las raíces cuartas de la unidad br^, bro,, br^, y aun nos fal- 

 taría el término o raíz br^; luego estas raíces no corresponden a la su- 



