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Si, conforme en la Memoria dijimos, en la ecuación que se trata de 

 resolver 



jr/n + Aj x^-i + Aa J:'«-2 + ... + Am-i -r + Am = 0... [1] 



se sustituyen las raíces complejas r (cos6 ± /senO), se obtendrán al fin, 

 en virtud del teorema de Moivre, estas otras ecuaciones en que aquélla 

 resulta descompuesta: 



rm CCS nú + Al r^—^ eos (m — 1 ) 6 +A2 /-"'-^ eos (m— 2) O + ... + , 



-f Am-i r CCS 6 + Am =^ O f 

 rñi sen m^ + Aj m-'í sen (m — 1) O 4-A .¿ rm--i sen (m— 2) O + ... -f k 



-f Am— 1 /• sen 0=0 



las cuales deben quedar igual y separadamente satisfechas por los verda- 

 deros valores de ry 6. Pero como hay, en primer lugar, que deducir di- 

 chos valores de la última transformada, contendrán, seguramente, peque- 

 ños errores, y aquella condición no podrá realizarse por completo, y su 

 sustitución dejará algún residuo en las ecuaciones [2], que por brevedad 

 en la escritura llamaremos Fe (r, 0) y Fs (r, 0). Designando, además, res- 

 pectivamente, estos residuos por de y ds, cada una de las mencionadas 

 ecuaciones necesitará una corrección de la misma magnitud que el corres- 

 pondiente residuo tomado con signo contrario, y, despreciando las poten- 

 cias de dr y í/0, superiores a lo primera, será lícito igualarla a la diferen- 

 cial total de la función respectiva. Podremos, pues, establecer 



-dc=^^dr^~^d^ 

 cr el) 



3Fs SFs 



— ds^-^dr-\--^dO 



y si, por brevedad, llamamos C y S a los polinomios. 



C — mrm-^ eos mO-\-im — \) Al rm-^ eos (m— 1)0 + ... + 1 

 + 2Am-2 r CCS 20 + Am-i eos O f 



S = mrm-í sen md + (m — 1) Aj r'"-^ sen (m — 1) O -f ... + ^ 

 + 2Am-2 r sen 20 + Am- 1 sen O 



[3] 



[4] 



hecha la diferenciación, se tendrán las dos ecuaciones lineales, que son 

 las [3] con notación distinta, 



— dc = Cdr — SrdO \ 



-ds = Sdr-\-Crd6 í ^^J 



