133 



Cuando la progresión sea la serie natural de los números, esto es 

 cuando r =; 1 



_ n{n + 1) 

 ^- ^— 



En este caso, cualquiera que sea /?, S resultará tal, que podrá siempre 

 s&r figurado el número entero que representa,^ por un triángulo equiláte- 

 ro de base n. En efecto, con S objetos iguales o círculos pequeños, pun- 

 tos, por ejemplo, distribuidos convenientemente por igual, poniendo enci- 

 ma de la fila de n puntos, que representa la base, otras filas de {n — 1), {n 

 — 2), .,., hasta 1 que será el vértice, quedará formado dicho triángulo. 

 Por esto, a esos valores de S. se les ha llamado triangulares. Uno cual- 

 quiera le representaremos por T su inicial. 



Análogamente, tomando otras progresione-i aritméticas, que también 

 principien por la unidad, pero cuya razón sea: 2, 3, 4, etc., se engendrarán 

 otras sumas S, con que se podrán figurar: cuadrados, pentágonos, exá- 

 gonos etc., que podemos representar también por su inicial: C, P, E, etc. 



En efecto: haciendo /" = 2, la fórmula [1] se convierte en 



S = C - «=^ 



que d^ los números que pueden figurarse por cuadrados. 

 Haciendo r = 3, tendremos los números pentagonales 



^ ^ (3n— l)/z 



Sin más que hacer en ésta, n=^2, ya se ve que resulta P = 5, que 

 podrán figurar el pentágono regular; los demás pentágonos resultarán, 

 agrupando los puntos, en polígonos regulares que rodean al primero y 

 espaciándolos sobre los lados con equidistancias, como las del central. Lo 

 mismo se puede decir de los demás. 



Se puede transformar la fórmula [1] para que entre en ella de un modo 

 general el orden o número de lados de los polígonos que deba engen- 

 drar. Bastará que, si llamamos m a ese número de lados, pongamos en 

 aquélla en vez de r, /w — 2. Así tendremos: 



im — 2)n^ — {m — 4)n 



Vamos ahora a los teoremas citados, que se refieren a límites hallados 



