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«Contestación al discurso de entrada, en la misma Real Acadetnia, de 

 don Mioual Vegas, acerca de! tema: El imaginarismo en la Geometría». 



«Nota relativa a la perpendicularidad de rectas y planos», publicada 

 en El Progreso Matemático, tomo lí, año 1892, pág, 108. 



«Curvatura de ¡as líneas en sus puntos del infinito», publicado en la 

 misma revista, tomo IV, año 1894, pág. 177. 



«Demosi ración de las relaciones más importantes enire los elementos 

 de un triángulo esférico», publicado en la Revista de la Sociedad de 

 Profesores de Ciencias. — Madrid, 20 de abril de 1876. 



«Rel-jción entre los elementos de segundo orden de las secciones pro- 

 ducidas en una superficie por planos :^ue pasan por uno de sus puntos de 

 infinito: Progreso matemático», tomo V, año 1895, págs. 89 y 111. 



«Superficies helicoidales», publicado en la Revista de la Sociedad 

 Matemática Española^ tomo í, año 1912, págs. 197, 243 y 353; y 

 tomo II, págs. 12 y 39. 



«Aplicacióii de la homografía y correlación al estudio de las superfi- 

 cies». Memoria leída en la sesión del 24 de ocíubre de 1908 del Congreso 

 de Zaragoza de la Asociación Española para el progreso de las Ciencias. 



Pei'o la labor más meritoria del señor Torroja consiste, en haber sido 

 el iniciador y propulsor de la moderna tendencia en orden a la Geometría, 

 habiendo conseguido, mediante sus constantes y reiterados esfuerzos, 

 transformar de una manera profunda el modo de ser de la ciencia del es- 

 pacio en España. Comprendiendo, en efecto, el vacío que existe entre la 

 hipótesis y la solución de un problema geométrico cuando se emplean los 

 procedimientos algébricos como msdio de resolución, al no traducir al len- 

 guaje geométrico las operacio¡,es analíticas intermedias; y partidario deci- 

 . dido de demostrar las propiedades puramente descriptivas con total in- 

 dependencia de la noción de medida, acomete con denuedo el insigne cate- 

 drático de la Universidad Central la obra renovadora que concibiera, 

 pasando de los procedimientos de Monge al empleo de los recursos que 

 la homografía y la dualidad proporcionan, y que ya habían pasado la fron- 

 tera por conducto de la obra magistral de Chasles, para terminar en los 

 puramente geométricos que introduce, siguiendo al eminente Staudt en 

 su importantísima obra Geometrie der Lage. En el curso 1884 a 1885, 

 el señor Torroja explica su primer curso de Geometría descriptiva, ta^ 

 como lo había concebido y como demandaban de consuno el carácter de 

 los estudios propios de la Facultad de Ciencias y las prerrogativas de esta 

 rama geométrica, que él consideraba dominada excesivamente por el aná- 

 lisis. Orientada, en este sentido, está su importante obra «Resumen de 

 as lecciones de Geometría descriptiva explicadas en la Universidad Cen- 



