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tral'>, primer tomo autografiado, en el que el insigne maestro expone, 

 con una concisión admirable, las nociones fundamentales de la Geometría 

 de la posición y sus aplicaciones a los diferentes sistemas de representa- 

 ción. Y marcada ya la ruta, explica en los cursos siguientes las teorías 

 más variadas acerca de las líneas y superficies. 



Merced a las constantes exhortaciones de los que apreciaban el valor 

 incalculable del señor Torroja, pudo vencerse su excesivri modestia, y, 

 en 1899, publicó el Tratado de la Geometría de la Posición y sus apli- 

 caciones a. la Geometría de la Medida, quetiene ima extraordinaria im- 

 portancia científica y un alto valor pedagógico. En efecto: el método de 

 exposición más lógico hubiera sido exponer las teorías de la iiomografía, 

 correlación e involución, ejes fundamentales alrededor de los cuales se 

 agrupan las diversas teorías geométricas, para deducir de eilas las propie- 

 dades métricas, como son las relativas a la circunferencia, esfera, centros, 

 ejes, pianos piincipales, fucos, etc. Mas esie método, recomendable para 

 los que con(;ceii la Geometría, hubiera hecho muy difícil la difusión de los 

 conocimientos geométricos, uno de los objetos de la obra mencionada. 



Por otra parte, resolviendo los problemas relativos a las figuras pro- 

 yectivas de primera caiegoría, aparecen los de las figuras planas y radia- 

 das de segundo orden con gran naturalidad y sencillez, permitiendo expo- 

 ner, de un modo completo, los sistemas en involución, así como la bella 

 teoría de los elementos imaginarios, -concepción verdaderamente genial 

 de los eminentes profesores de la Universidad de Eriangen Faiilus y 

 Staudt, y que basta por sí sola para que figuren los dos profesores haba- 

 res entre los geómetras más eminentes. En la obra del señor Torroja, las 

 propiedades métricas se exponen al lado de sus correspondientes proyec- 

 tivas, agrupándose las que presentan gran analogía, aunque pertenezcan 

 a figuras de categoría diferente. En fin: ¡as propiedades más culminantes 

 de los haces, redes y complejos de figuras de segundo orden se exponen 

 con rigor y ciaridad, así como la teoría de las transformaciones cuadráti- 

 cas, de importancia indudable, tanto en la teoría de la proyectividad y 

 antiproyectividad compleja, como en las llamadas geometrías del triángulo 

 y del tetraedro. 



Otra de las obras importantes, legada a la posteridad por el insigne 

 profesor español, es la Teoría geométrica de las lineas y superficies 

 desarrollables, cuya trascendencia está a la vista, habida cuenta de ser 

 la primera en España que se ha escrito sobre la materia, utilizando como 

 medio expositivo los recursos de la Geometría pura. 



En ella se estudian magistralmente los elementos de detención y de 

 retroce.so de las líneas hasta llegar a la notable regla de los signos de 



