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 cioè 



X -\- h X 



1 n 



Questa relazione vale per ogni valore di n e per h positivo 

 qualunque, d' onde subito si conclude che il quoziente , è 



crescente per ogni valore positivo della ce. 



Non conosco dimostrazione diretta di cotesto teorema al quale 

 si possono aggiungere i seguenti : 



I. Se la funzione f(x), reale della variabile reale x e sempre 

 positiva e derivabile per ogni valore positivo della x, se è f(0) =: 0, 



f/x) 



e la derivata f (x) e sempre crescente, anche il quoziente e 



sempre crescente per valori j^ositivi crescenti della x. 



II. Se la funzione f(x) e sempre positiva, se la <p(x) e sempre 



positiva e crescente per valori positivi, crescenti della x, se il 



f'(x) , 

 quoziente — , . , e crescente e positivo, se inoltre si ha f (0) =r Q, 



, , f(x) . 



anche il quoziente — -. — r e positivo e crescente, per valori cre- 

 scenti e positivi della x. 



III. Se ad ogni coppia di valori positivi di x ed h, corri- 

 sponde una relazione della forma 



f{^^2h)-f(x + h) fix+h)-f{x) 



(p{x -{-2h) — (p{x-{-h) <p{x -\-h) — ^(x) ' 



e le funzioni f(x), ^(x) sono positive e crescenti, anche il quoziente 

 — r-r , e una funzione crescente per valori positivi e crescenti 

 della X. 



Modena, 26 Dee. 1904. 



Ettore Bortolotti. 



Della Dimostrazione delle proposizioni enunciate, e della esten- 

 sione a funzioni sempre decrescenti, il Ch. Dott. Barbieri farà 

 argomento di una prossima comunicazione. 



Ettore Bortolotti. 



