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del Dott. ARMANDO BARBIERI 



(Nota presentata alla seduta dell' 1 1 aprile 1905). 



Il seguente teorema: 



* Se la funzione reale f(x) della variabile reale x e definita 



nell'intervallo (0 | oo), se f(0)=:0 e qualunque siano x ed 



h è soddisfatta la relazione 



fix-^2h)>2fix + h)-f{x), 



f(x) , 

 il rappòrto e crescente », di cui è nota l'importanza per lo 



studio della Geometria non Euclidea fu implicitamente enunciato 

 nel 1893 dal Gerard (*), il quale ne diede la dimostrazione in 

 un caso particolarissimo. 



Il Cesàro, con una lettera di cui fu stampato un estratto in 

 questi annali, propose la dimostrazione del teorema sotto la forma 

 più generale dianzi enunciata al Prof. Bortolotti, e questi nello 

 stesso tempo che esibiva la dimostrazione richiesta, enunciava 

 alcune proposizioni piìi generali, lasciando a me la cura di ap- 

 profondire e completare lo studio dell' importante questione. 



Tale scopo ha appunto la presente nota colla quale dimostrerò 

 le seguenti proposizioni. 



I. « Se f(xj e una funzione reale della variabile reale x, 

 ad un valore, finita, continua e derivabile in ogni punto al finito 

 dell' asse reale, se ivi e 



/(0) = 

 (*) Nouvellea Annales de Mathématiques, 1893, p. 75 



