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f(x) ^ 

 ed e f'(x) sempre crescente, anche il quoziente è sempre 



crescente ». 



II. « Se f(x), ^(x) sono funzioni reali della variabile reale x, 



ad un valore, finite e derivabili neW intervallo (0 I — oo ) e ia ^ sem- 



f'(x) 

 pre positiva e crescente se f (0) = (p( 0) = ed il rapporto -y- — - 



f(x) . 

 è sempre crescente, anche il rapporto — -, — r e setnpre crescente 



per valori positivi e crescenti della x ». 



III. « Se le due funzioni reali f(x), (p(x) sono finite e ad 

 un sol valore in tutti i punti x di un insieme numerabile Fx 1 



in cui Xq = ed ivi la (p e sempre positiva e crescente, se f(0) = 

 =r9(0) = e per ogni valore di n è soddisfatta la relazione 



è soddisfatta anche V altra 



Da questa deduco facilmente 1' altra proposizione : 



IV. « Se le f(x), cp(x) sono definite in tutto il tratto 

 ( I — I oo ) e per ogni coppia di valori positivi per x ecZ h è 



f{x + 2h)-f(x-^li) f(x-^h)-fix) 

 (p(x -\- 2h) — <f>{x -\- h) ^{x -\- h) — (p{x) 



il rapporto — - — r e sempre crescente ». 



Dal primo teorema che può considerarsi come conseguenza 

 di quello dimostrato dal Prof. Bortolotti, do anche una dimostra- 

 zione diretta, premettendo un lemma che à importanza nella teoria 

 delle funzioni di variabili reali, perchè dà una proprietà dell' in- 

 determinata 6 che compare nella notissima formula 



(1) fix, + h)-fix,) = hf {X, + e/i). 



