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Il secondo teorema lo deduco dal primo con un semplice ar- 

 tificio già usato dallo Stolz e dal Bortolotti in questioni analoghe (*). 

 Di esso do anche una dimostrazione diretta facendolo precedere 

 da un secondo lemma analogo al precedejite. 



Do due dimostrazioni della terza proposizione che è la più 

 importante perchè da essa possono dedursi, come dimostro, tutte 

 le altre. 



Completo r argomento enunciando proposizioni più generali, 

 le cui dimostrazioni si deducono con leggere modificazioni dalle 

 precedenti. 



1. Lemma 1." «Se f(x) e funzione finita continua e derivabile 

 nel tratto (x^, Xq -|-h) {inclusi gli estremi), se f (x) è sempre 

 crescente, nella formula 



f{x, + h) -fix,) = hfix, + e/t) (1) 



non può essere 6 = 0, né = 1. 

 Si consideri infatti la funzione 



? (a: )=/(«:) — /(a^o) — (^ — a^o) 1 



la quale prende lo stesso valore (zero) nei punti x^ ed x^ -|- h. 

 La sua derivata deve annullarsi in qualche punto ( almeno uno ) 

 dell' intervallo (Xq, Xq -[- h) che indicheremo con Xq -\- ^h. Ed 

 in particolare nei punti di massimo o di minimo della cp(iP,) nel- 

 r intervallo stesso. Se la derivata della (p{x) potesse annulla,rsi 

 soltanto nei punti estremi dell' intervallo, che corrispondono ri- 

 spettivamente ai valori ed 1 di 0, vorrebbe dire che la cp(x) 

 non ha in quell' intervallo punti di massimo né di minimo, sa- 

 rebbe dunque costante in tutto 1' intervallo e quindi la sua de- 

 rivata costantemente nulla: cioè 



f(Xc. + h) — (fXn) 

 cp'{x)=f{x)-' "' '^ l ^-^ °^ = Q 



f(x) = j^ = cost 



(*) Stolz, Ueber die Grenzioerte der Quotienten: Mat. Ann.: XIV^ 

 p. 278. — BoBTOLOTTT, Sul limite del quoziente di due funzioni: Ann. di 

 Matematica, Serie III, Tomo 8.", p. 265. 



