— si- 

 iti tutti immuti dell' intervallo (x^, a?o -H ^ ) coptro l' ipòtesi che 

 sia /'(a;) crescente. v .:: 



2. Corollario. « /S'è la f(x), come sopra definita, soddisfa la 

 relazione 



f(x-hh)-f{x) = hf{x + ^h) 



con 6 esclusivamente ugunle a zero o ad 1, essa è lineare nel 

 tratto ( X, X + h ). 



3. Teorema 1.° « /S'è f(x) è una funzione reale della varia- 

 bile reale x, ad un valore, finita, continua e derivàbile in ogni 

 punto al finito delV asse reale, se ivi e 



f(0) = 



ed e f'(x) sempre crescente anche il quoziente e sempre 



crescente » . 



1." Dimostrazione. 

 Scelta h ad arbitrio si à 



flx + (n 4- l)h] —f{x-\-nh) = hf'{x + nh + 0/i) 



fi^x -f nh) —f[x + {n — 1);ì] = hf'\x -f ( n — 1 ) /i + O./i] 



ove non può essere j)er il lemma precedente né 0:=:O, nèOj==l, 

 è dunque certamente 



f'{x-\- nh-\-^h)->f'[x + {n — Ì)h-\-%h) 



e quindi anche 



f[x-\-{n + l)h\—f{x + nh)>f{x + nh)-f\x+ln — \)h], 



e per il teorema dimostrato dal prof. Bortolotti, — — crescente. 



2.* Dimostrazione. La formula (1) in cui si faccia a?o = 0» 

 h z=: X, dà, poiché f(0) = 



f(x) = xf{Ox). 



