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Poiché /'(a;) è sempre crescente si à anche (Lemma 1.") 

 ^x <. X e perciò 



Onde si à 



cioè 



f'(^T)<f{x). 



xf'{x)-f{x)>0 

 xf'ix)-f(x) ^ 



™2 ^ ^ 



dx X 



■1 , fi^) 



il che prova essere crescente. 



f(x) 



4. Scolio. « Se f{x) è monotona anche è monotona >. 



^ ■' X 



Infatti dalla formula /(a?) = a7/"(0cc), sef'(x) è non decre- 



d f(x) 

 scente, si ricava f (x) < xf (x) cioè^— > 0. 



5. Teorema 2.'^ < /S'è f ( x ), 9(x) sono funzioni reali della 



variabile reale x, ad un valore finite e derivabile nelV intervallo 



( I — oo ) e Za 1^ è sempre positiva e cresxente, se f(0)=cp(0) =0 



f'(x) ^ f(x) 



ed il rapporto —j- — r^ è sempre crescente anche il rapporto — - — r 



è sempre crescente per valori positivi e crescenti della x. 



1.0 Dimostrazione. Poiché la cp é sempi*e crescente, essa è 

 atta all'inversione: 



Sia a? = ic(cp) la funzione inversa della ^. Posto 



F{<f)^f[x{^)] 



Per le ipotesi fatte la JP è funzione di <p soddisfacente alla 



