— 53 — 



F{0)^0 e la sua derivata rispetto a (f è sempre crescente. 

 Sarà allora per il teorema precedente 



<p cp(aj) 



sempre crescente. 



Alla 2.* dimostrazione premettiamo il seguente 



6. Lemma 2.* « Se f(x) e cp(x) sono finzioni finite continue 

 e derivabili nel tratto (x^, x^ +h) (inclusi gli estremi) <ip(x) 



sempre crescente o sempre decrescente se -r — : e sempre crescente, 



nella formula data dal Dìni (*). 



non può essere wè 6 = 0, wè 6 :=: 1 n. 

 Infatti partendo dall' espressione 



f(.)=/(.) -/(..)- (9(.) -,(.,)! ^x:Xì]-^9(^!) 



e ripetendo gli stessi ragionamenti fatti pel Lemma 1.°, si con- 

 clude che se 6 potesse avere il valore od il valore 1, la derivata 

 'Y{x) sarebbe uguale a zero in tutto l'intervallo {x^ ,Xq -{- h) cioè 



fM ^ fix,-\-h)-f(x,) _^ ^^^^ 



qualunque sia x nell' intervallo stesso, contro l' ipotesi fatta per 

 il quoziente -y-. — r . 



7. 2/ Dimostrazione del teorema 2.* 



Facendo nella formula del Dini Xq = 0, h z= x, si à per le 

 ipotesi fatte /(0) = (p(0) = e pel lemma precedente 



f{x) ^ f'i^x) 

 <p ( aj ) <p' ( ex ) 



(*) DiMi, Fondamenti, p. 77. 



