- 58 — 

 si deduce 



f(x^)^(i»!o)-f{x,)^(x,)>'f(x,)\f{x,)-f{x,)\- 



— fix,)\^(x,) — ^>{x,)\ 



ma il secondo membro di questa disuguaglianza è positivo perchè 



f{x, )--f(x, ) f(x,) 

 cp(x,) ■ cp(x,y cp(a;,) 



sarà dunque anche 



fjx,) f{x,) 

 (f(a?3) <p{x,) 



10. Teorema 4." « Se le f{x), <p{a?) sono definite in tutto il 

 tratto ( |— I oo ) e per ogni coppia di valori positivi di x ed h è 



f(x + 2h) — f(x + b) ;^ f(x + b) — f(x) 

 9(x + 2h) — Cp(x + h) '^ 9(x + b) — cp(x) 



f(3:) ^ 



il rapporto ■ — j — ^ , e sempre crescente. 



; Posto infatti x = nh, dal teorema precedente si deduce che 



n 



fix) 

 qualunque sia h, e quindi che — — z è crescente. , 



11. Osservazione. Da questo teorema si possono far dipendere 

 tutti gli altri precedentemente dimostrati : 



Infatti nelle ipotesi del teorema 2.°, valendoci della formula 

 del Dini, avremo 



/[a; 4- (n ^l)h]-f{x + nh) _ f'(x-\- riJi +U) 

 <p\x -\-(n-}- l)h\ — (f{x -\- nh) 'f' {x + nh -\- flh) 



f{x + nh}]i^f\x + (n-l}h] ^ f[x + {n^ì)h-\-bJi\ 

 ^^ 9(a? + nh) — (p[x + (?i — 1) h\~ cp'\x -\- {n ~ l)h + b^h\ 



