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 con 6 e 6, diversi da zero e da uno: Poiché il secondo membro 

 della (1) è maggiore del secondo membro della (2) sarà anche 



f[x + (n + l)h] - f(x -]- nh) fjx + nh) - f\x + {n-l)h \ 

 ({>\x-\-{n-}-l)h\—(p{x-\-nh) rp{x+nh) — <:p\x -{- (n— l)/i] 



e in forza del teorema 3.° possiamo asserire che —, — r è crescente. 



Se poi nel teorema secondo si fa «y ( a? ) = a? si ricade nel 

 teorema 1° 



Teoremi analoghi valgono per funzioni sempre decrescenti e 

 si dimostrano nello stesso modo. — Possiamo dunque enunciare 

 le proposizioni seguenti 



I. « Se la funzione reale f(x) della variabile reale x e finita 

 e ad un valore in ogni tratto finito dell' intervallo ( | — oo ) se 



f(x) . 

 f(0)=:0, il rapporto e sempre crescente o sempre decre- 

 scente secondoche, per ogni coppia di valori reali e p)ositivi di 

 X ed h, e soddisfatta la prima o la seconda delle due 



f{x + 2h)>2f{x + h)-f(x) 



f^x + 2h)<c2f{x + h)--f(x) ». 



IL « Se f ( X ) è una funzione reale della variabile reale x, 

 ad un valore, finita, continua e derivabile in ogni punto al finito 



ff x) ^ 

 dell'asse reale, il rapporto e sempre crescente o sempre de- 

 crescente secondoche f ' ( x ) è sempre crescente o sempre decrescente. 



III. < Se f ( X ), cp ( X ) sono funzioni reali della variabile 



reale x, ad un valore, finite e derivabili nelV intervallo (0 1 — oo ) e 



la (p e sempre crescente o sempre decrescente, se f(0) = (p{0) = 0, 



f(x) 

 il rapporto —, — r è sempre crescente o sempre decrescente secondo 



f'(x) , 

 che il rapporto -n — e e sempre crescente o sempre decrescente. 



IV. « Se le due funzioni reali f(x), 9(x) sono finite e ad 

 un valore in tutti i punti x di un insiene numerabile [x 1 in 



