E. BORTOLOTTI 



SUGLI ORDINI DI INFINITO DELLE FUNZIONI REALI 



Con una noterella, che porta questo titolo (*) il Signor G. Vi- 

 tali intende « mostrare che per ogni funzione reale, positiva, finita 

 « e crescente in un intervallo (a\ — b), infinita per x = h, e pos- 

 « sibile determinare un numero o positivo o nullo od infinito, che 

 « può servire a caratterizzarne la crescenza ». 



Un tale risultarnento, che risolverebbe senz' altro il quesito 

 fondamentale del calcolo infinitario, cui tanti sforzi infruttuosi fu- 

 rono fino ad ora rivolti, si potrebbe ottenere, secondo il Vitali, 

 nel modo seguente: 



« consideriamo le diverse potenze ad esponente positivo 



« di f{x). 



« Se f(x) è integrabile in (a | — j 6) e se m, <! m, la f(x) ^ lo 



« è pure; se invece f{oo) non è integrabile e se mj > m , 



« anche f{x) i non è integrabile in ( a j — | b ). 



« Ciò prova subito che esiste un numero m tale che sem < m 



« la f(x) è integrabile in (a I — \b) e se m^ììi la /(a?) è in- 

 « vece non integrabile in ( a | — [ b ). 



« Noi chiameremo indice di infinito della f(x) il numero — 







« Se ogni potenza di f{x) sarà integrabile, l'indice di f(x) 

 (*) Bologna, tip. Gamberini e Parnieggiani, 1905. 



