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 « sarà nxillo, e se invece nessuna potenza di f{x) sarà integra- 

 « bile, l'indice di f{x) sarà infinito. 



Anzitutto giova osservare, che la definizione di cotesto indice 

 di infinito suppone la conoscenza di un criterio di integrabilità, 

 per qualsiasi potenza con esponente reale, di ogni funzione /(aj) 

 reale, positiva, finita, crescente, infinita per x-=::^h , & che un tale 

 criterio non si possiede; anzi, che, per solito, i criteri di inte- 

 grabilità di cosifiatte funzioni, si fanno dipendere da quella stessa 

 rapidità di crescenza, che qui si vorrebbe determinare. 



Ma, ammesso pure, che per la strada indicata si riesca a de- 

 finire r indice m di infinito, vediamo quale vantaggio se ne 



avrebbe, per la conoscenza del comportamento assintotico della 

 funzione cui m è attribuito. 



o 



Lasciamo però prima in disparte gli indici nullo ed infinito. 



Questi invero non caratterizzano nessuna speciale rapidità 

 di crescenza, poiché convengono ad infinite funzioni di diversis- 

 simo comportamento assintotico; quali sarebbero p. es. le funzioni 

 di indice nullo: 



e quelle di indice infinito 



('«6^) 



1 1 



b —X b — x 



, (6 ~x) 



Ed eccoci ridotti al solito campo, delle funzioni che non cre- 

 scono più rapidamente delle potenze positive intere, né meno ra- 

 pidamente delle potenze fratte della variabile, che è anche quello 

 sempre considerato nell' ordinario calcolo degli infiniti. 



Ma v' è di più: se non si modifica prima il concetto di egua- 

 glianza e di diseguaglianza nelle rapidità di crescenza, nemmeno gli 

 indici finiti e diversi dallo zero m , possono caratterizzare la ere- 



scenza delle funzioni cui sono attribuiti, tranne che nei casi in 

 cui essi coincidano con gli usuali ordini di infinito. 



Per non dilungarmi in troppe considerazioni, del rimanente 

 assai ovvie, mi limiterò qui a citare un esempio: 



