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 Teorema I." « Se l'(x) è una funzione reale della variabile reale x, 

 finita e ad un valore in tutti i punti di un intervallo (a} — jb), 

 56 L è il massimo limite della f(x) in un punto x (L determinato 



e finito ), ad ogni e fissata si può fare corrispondere un numero 

 h tale, che 



«„ 



— h <i X <i X + /iff f{oc) <i L -^ t » . 



Infatti si consideri un intorno dì x , fx ~ h,x 4-/i\esi 



\ o ' / 



supponga che in esso cada almeno un punto ^ tale che 



' -- ! 

 I 



Scelto h per modo che 



si consideri l'intorno /ce — h , x +^|); se in questo intorno 

 esiste in punto ^ tale che 



costruiamo un nuovo intorno (x — /i., , x + ^„ ) a cui il punto 

 è, sia esterno. Se la successione delle h. che cosi si definiscono, 

 avesse per limite lo zero, esisterebbe una successione di numeri 

 4 4i • • • 4 • • lungo la quale sarebbe, qualunque fosse i, 



ed il limite (od i limiti) a cui tenderebbe la f{x) lungo quella 

 successione non potrebbe ( non potrebbero ) essere minore od uguale 

 ( minori od uguali ) ad L. 



Osservazione. — È evidente che « per ogni e fissato, si 

 può determinare un numero h tale che per ogni (y<Zh, nell'in- 

 tervallo ^x — -j , X -\-a\ esiste almeno un punto a^ pel quale è 



/(x)>L-e». 



