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diremo che la f{x) ammette la semiconvergenza uniforme superiore 

 nel punto x . 



Analogamente si definisce la semiconvergenza uniforme inferiore 

 di una funzione f{x) in un punto x . 



Se la f{x) ammette la semiconvergenza uniforme superiore ed 

 inferiore in un punto, si dirà convergente uniformemente in quel 

 punto. 



Teorema. « Se V insieme delle L ammette come tonico punto 



limite il massimo liviite L, la f(x) ammette la semiconvergenza 



uniforme superiore ». 



Fissato s, indichiamo con L' quelli dei numeri L che cadono 



r ^ r 



e 

 nell'intorno L — -^ , pei quali cioè è 



(1) L<L'^+I- 



e con S' =1 ( x' , ,x\. . . x' . . .\ le successioni lungo le quali la 

 r \ ri ri rn J o i 



/(ce) tende ad L' : con L" quelli degli L per cui non è soddi- 

 sfatta la (1) e con S" = ( x'' x" ^ .... x" ....\ le successioni cor- 



^ ' s \ si s2 sn J 



rispondenti. 



Per le ipotesi fatte i numeri L' saranno infiniti, L" in nu- 



^ r s 



mero finito; sia 5 =r 1 . 2 .... n . 



Fissato e, sia h un numero tale che 



1} " ^ \ ij / 2 



qualunque siano ì, j (Teorema I.°), ed h (s ^ 1 , 2 .... n) un 

 numero tale che 



X —h <x" .<x -\-h f(x" \<L"+e. 

 Indichiamo con h il minore dei numeri h h h e consi- 



I n 



deriamo l'intorno /x^ — h , x^ •\-h\. Preso un punto qualunque 



