G. SFORZA 



SUL VOLUME DEI POLIEDRI 



NELL'IPOTESI NON EUCLIDEA 



(Seduta del 12 Marzo 1907). 



In un mio lavoro presentato il 20 dicembre 1906 dal prof. Arnaldi 

 alla R. Accademia di Modena e che sarà inserito negli atti di questa, 

 mi sono occupato di estensionimetria non Euclidea, e, relativa- 

 mente ai poliedri dello spazio a tre dimensioni e più specialmente 

 riguardo al tetraedro, sono giunto ad alcuni risultati che, sembran- 

 domi notevoli, io comunico a questa rispettabile Società. 



Per struttura di un poliedro si intenda l'insieme dei cicli 

 in cui si separano i suoi vertici per formare i poligoni-facce. Ora 

 da un teorema generale di ISchubert ( Cfr. ScHOUTE, Mehrdimensio- 

 nale Geometrie, pag. 78-79) risulta che la determinazione metrica 

 di un poliedro Euleriano di data struttura dipende da tante costanti 

 arbitrarie quanti sono i suoi spigoli. Se dunque la curvatixra K 

 dello spazio non è nulla ( nel qual caso i diedri di un poliedro non 

 sono legati a priori da alcuna relazione) si può concludere che un 

 poliedro Euleriano di data struttura è determinato dai suoi diedri 

 cioè il suo volume I^ e i suoi spigoli sono funzioni dei suoi diedri. 

 Quali funzioni siano gli spigoli s dei diedri ct si può stabilire 

 con semplici equazioni trigonometriche, cosicché gli spigoli s si 

 possono considerare qui come note funzioni dei diedri; allora io 

 ho dimostrato che, se V e il volume, a un diedro generico ed s lo 

 spigolo di sostegno di a, si avrà: 



dV=~^sda (1) 



