essendo dV il differenziale totale di V considerato come funzione 

 dei diedri a. 



Da (1) si può ricavare il notevole teorema: La somma dei volumi 

 di due i^oliedri assolutamente reciproci aumentata della somma 

 dei tetraedri contenuti dalle coppie di spigoli assolutamente reci- 

 proci dei due poliedri riempie tutto lo spazio projettivo. 



E questo teorema è analiticamente valido anche per if < o. 



Io ho stabilita la (1) deducendola dal caso particolare del 

 tetraedro pel quale 1' ho originariamente dimostrata. Nel caso del 

 tetraedro si possono facilmente esprimere gli spigoli s pei diedri o" 

 nel seguente modo. Siano 0, 1, 2, 3 i vertici di un tetraedro e 

 si indichi con Sij lo spigolo che unisce i vertici ij; sia poi <7ij il 

 diedro opposto allo spigolo Sij; allora la (1) prende intanto la forma 



dV= rr^ ( Sol doi3 + Soì dazi + «03 dan + s^ dooi + sud^oz + sudooz V*). 1 2) 



(*) Nel mio lavoro citato ho dimostrato analiticamente che, se F è 

 l'ipeivolume di un (n-|-r)-edro P di uno spazio a n dimensioni di 

 curvatura costante if, si ha: {n — 1 ) KdV=^ S sdc , ove è un diedro ge- 

 nerico di P ed s l'estensione dell' (w — l)-edro sostegno di 0; e da tal for- 

 mula per n:^3 ho dedotta la (2). Ecco tuttavia un cenno di una dimo- 

 strazione elementare e diretta della (2), dimostrazione che non compare 

 nel citato lavoro. 



Si ponga per brevità, qualunque sia x ,x = x[/K. Allora il settore 



infinitesimo conico di angolo dz di altezza A e di apotema p ha un volume 



dr • • 



dV:= ^r— (h — p tang h cot p) ( Cfr. Frischauf, Elem. der absoluten Geom., 



pag. 99), la quale, quando to sia l' inclinazione dell' apotema p all'altezza A' 

 si può scrivere anche 2KdV= {h — pcos(tì)dz. Di qui si deduce che, 

 se dV è il volume di un tetraedro ABGD col diedro in AB infinitesimo {dx\ 

 e si pone AB = e , AC =h , BC = a , BAC = A , ABC = B , si ha, 

 a meno eventualmente di infinitesimi di second' ordine, 2KdV =^ {e — 

 — a cos B — b cos A) dx . Facendo ora variare di infinitamente poco il solo 

 vertice del tetraedro finito 0123, la variazioae bV del suo volume V 

 è la somma algebrica di tre tetraedri infinitesimi del tipo precedente; 

 donde si ricava: 



2Kò V = »23§ao, + S3jSo„, + Sj25o,3 + So» ( — cos Oma^s — cos 0Ì3aa„, ) 



+ «oa ( — f 08 ^2l5ao3 - COS 0'■ISòOg^ ) -p «os ( — «OS 03Ì8oo5j — cos 032Saoi ) . 



Ora se in un triangolo sferico di angoli A ,B , Ce lati a ,b,c varia 

 infinitamente poco il solo vertice di A, si ha 84 = — cosòdC — coscbB. 



