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 Facendo nella terza delle (13) 





si ottiene (per la prima delle (11)) 



V=6 r„ = 4 T 



n — ^ ^ Tt 



(15) 



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la quale dà il volume del tetraedro tetrasintotico regolare in una 

 forma più semplice di quella data da Liebmann nella sua recente 

 « Nichteiiklidische Geometrie » (Sammlung Schoute, 1905, pag. 162), 

 e, per la terza delle (11), prova il carattere di massimo del tetrae- 

 dro tetrasintotico regolare fra tutti i tetraedri tetrasintotici. 

 Si deve notare infine che, poiché la (10) sussiste anche se è 

 immaginario, la indicata decomposizione di V può essere fatta 

 anche nel caso di K'^o cioè nel caso ellittico; infatti la (9) ha 

 un' origine puramente analitica. 



Voglio ora porre brevemente in relazione questo metodo con 

 quello di Lobatschefsky (Vedi p. es. Liebmann, 1. e. pag. 156 e seg.). 

 A tale scopo conveniamo che, se un tetraedro ha tre diedri retti, di 

 cui due opposti, il tetraedro sia detto elementare e che dei rimanenti 

 tre diedri i due opposti siano detti laterali e medio il terzo. Al- 

 lora, calando da un vertice di un tetraedro qualunque la perpen- 

 dicolare sulla faccia opposta e dal piede di questa le tre perpen- 

 dicolari sui tre lati della base, il tetraedro risulta un aggregato 

 di sei tetraedri elementari positivi o negativi aventi i vertici nei 

 piedi delle quattro perpendicolari sudette e nei vertici del tetraedro. 

 Cosi Lobatschefsky ha ridotto la determinazione del volume di un 

 tetraedro a quella dell'elementare. Egli ha poi provato che un 

 tetraedro elementare non asintotico è un aggregato di quattro te- 

 traedri elementari monoasintotici due positivi e due negativi, e cosi 

 ha ridotto la questione alla determinazione del volume del tetraedro 

 elementare monoasintotico. Se si osserva che in un tetraedro elemen- 

 tare monoasintotico il diedro medio deve essere complementare di un 

 laterale, si trova colla (9) che il volume T , del tetraedro eie- 



