18 Encke über den Ausnahmefall einer doppelten Bahnbestimmung 



zwischen ;s = bis 180^ und eine zwischen z = 180° und z = 180° + 7 fal- 

 len, odei' umgekehrt eine zwischen z = bis 180°, und drei zwischen z = 

 180° bis 180° + q, folglich drei positive und eine negative Wurzel für sinz, 

 oder drei negative und eine positive für sin;: geben. Berührungen können 

 nur stattfinden, wenn bei bestimmtem q 



^' = i7 + TAi'c(sin=S.sin(7) 



1 / sin (:' — '/) 



und m = — -. — TT— 



sin z * 



Sind sie so, dafs die Curve der vierten Ordnung von aufsen die Sinuscurve 

 berührt, so bildet der Werth m' die äufsere Grenze, für ein gröfseres jn 

 werden die Werthe unmöglich. Es bleiben dann nur eine positive und eine 

 negative Wurzel. Berühi-t dagegen die Curve vierter Ordnung die Sinus- 

 curve innerhalb, so bildet der zugehöi-ige Werth von m" die innere Grenze, 

 und für ein kleineres m werden die Wurzeln wieder auf nur zwei mögliche 

 eine positive und eine negative reducirt. Nimmt man q negativ oder wählt 

 man die Form 



m sinz" = sin (z+q) 



so wird man hiebei das Supplement des ;; zu 180° zu substituiren haben. 



Die Gleichung (25) zeigt übrigens nach der Cartesischen Regel, dafs 

 von den vier reellen Wurzeln nur dann drei positiv sein können , wenn q 

 abgesehen vom Zeichen < 90°, weil m immer als positiv angenommen ist. 

 Für q > 90° findet immer nur eine reelle positive Wurzel statt. Da nun 

 nach dem Obigen immer eine reelle Wurzel der Erdbahn angehören mufs, 

 oder zu r = R' gehören, und nach (20) wegen sin ^' stets positiv, nur po- 

 sitive Werthe von z hier stattfinden dürfen, so wird eine Planetenbahn nur 

 nur dann den Beobachtungen entsprechen können, wenn 3 reelle Wurzeln 

 positiv werden, oder abgesehen vom Zeichen q < 90°. Diese Grenze wird 

 aber noch enger beschränkt, weil auch nur dann 4 reelle Wurzeln stattfin- 

 den, wenn m zwischen 771 und m" liegt und |- sin ^ < Ij oder sin 7 < 5-, 

 q < 36° 52' 11,64" um ein mögliches ;:;' zu geben. Hiernach stellen sich die 

 Bedingungen aus drei vollständigen Beobachtungen eine von der Erdbahn 

 verschiedene Planetenbahn ableiten zu können, folgendermafsen dar: 



1) Es müssen 4 Wurzeln reell sein. Die Bedingungen dafür sind, dafs 

 sin 7 < |- abgesehen vom Zeichen, und ra zwischen m' und ?« " liegt. 



