aus denselben drei geocentriscJien Oertern. 1 9 



2) Von diesen 4 reellen Wurzeln müssen 3 positiv und eine negativ 

 sein. Hiezu ist erforderlich, dafs cos q positiv bleibt wodurch von den 4 

 Werthen, für welche sin <-/ < ± ^ ^^^ beiden im zweiten imd dritten Qua- 

 dranten ausgeschlossen wei'denund nur die Werthe von q zwischen — 36° 52' 

 und + 36° 52' beibehalten. 



Sind diese beiden Bedingungen ex-füllt, so wird von den drei positiven 

 reellen Wurzeln immer eine zur Erdbahn gehören und folglich dem Pro- 

 bleme nicht entsprechen. Aber auch bei den übrigen beiden wird in der 

 Regel kein Zweifel übi'ig bleiben, welche allein eine Auflösung der Aufgabe 

 giebt; denn da nach der Bedeutung der Gröfsen 



sin i sin (§' — ;;) sin S' 



R' / r' 



so mufs nicht allein z und 5' jedesmal < 180^ sein, sondern auch sin {^' — z) 

 positiv, oder ^' > z. Ordnet man deshalb die drei positiven reellen Wur- 

 zeln nach der absoluten Gröfse, so können hier 3 Fälle eintreten. Entweder 

 nähert sich die kleinste Wurzel dem ^' am meisten und gehört also zur Erd- 

 bahn, dann ist das Problem unmöglich, weil niemals die Bedingung ^' > z 

 erfüllt werden kann. Oder die mittelste entspricht dem ^' , dann wird das 

 Problem allein durch die kleinste Wurzel gelöst. Oder endlich die gröfste 

 der drei Wurzeln weicht am wenigsten von ^' ab, dann tritt eine Wahl zwi- 

 schen den beiden kleineren Wurzeln ein. Jede derselben wird eine Plane- 

 tenbahn geben, weil jede alle Bedingungen erfüllt und es wird aus Beobach- 

 tungen , die von den drei gegebenen verschieden sind , ermittelt werden 

 müssen, welches die wahre Lösung ist. 



So wie der W^erth von m zwischen den beiden Grenzen m' und m" 

 liegen mufs, so werden auch alle vier reellen Wurzeln zwischen den Wur- 

 zeln als Grenzen liegen, welche den m und m" entsprechen. In den folgen- 

 den beiden Tabellen sind deshalb für das Argument q von Grad zu Grad, 

 die Wurzeln, welche den Grenzen entsprechen, der Gröfse nach geordnet 

 und durch die Bezeichnung c;', ;;", ;3'", r;'^ unterschieden. Für jeden Werth 

 vom m, der eine mögliche Lösung giebt, werden diese Wurzeln innerhalb 

 der für m und m" bei einer jeden derselben angegebenen Gröfse liegen, 

 und man wird auf diese Weise, wenn ^' gefunden ist, auf den ersten Blick 

 entscheiden können ob bei einem bestimmten m und q, der paradoxe Fall 

 einer doppelten Bahn stattfinden kann oder nicht. Allerdings mufs dabei 



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