26 Encke über den Ausnahmefall einer doppelten Bahnbestimmung 



dem r abzuleitenden p, oder dem Quadrate der Flächengeschwindigkeit, in 

 Übereinstimmung gebracht werden zu können. Immer mufs die der Erd- 

 bahn angehörige Wurzel zutreffen, insofern die Zwischenzeiten bei der Be- 

 rechnung der Erdörter schon gleich anfangs benutzt woi'den sind. Der 

 Werth von tu wird strenge 



b° sin 9 r'* sin-^(u" — u') sin -^-(u' — u) 



a! IR"* sind"* /9COs4-(«' — «) 



der erste Faktor hängt nur von dem Verhältnisse der Zwischenzeiten ab, der 

 zweite dagegen ist nahe das Produkt der beiden Dreiecksflächen zwischen 

 dem l^'en und 2'en imd dem 2t«ii und 3""i Orte dividirt durch das Quadrat 

 der Flächengeschwindigkeit. Es bedingt folgUch die Gröfse von m eine 

 besimmte Gröfse der Zwischenzeiten, welche weder kleiner noch gröfser 

 werden darf als diejenige, die sich überhauj)t noch mit den Keplerschen 

 Gesetzen vereinigen läfst. Diese Grenzen werden durch m! und m" angege- 

 ben. Aufserdem liegt es in der ungeraden Zahl der positiven Wurzeln von 

 denen immer die gröfsere vereinzelt steht, da die bei ihr stattfindende Grenze 

 der Möglichkeit auf der anderen Seite die vierte negative reelle Wurzel hat, 

 dafs wenn diese gröfste Wurzel zur Erdbahn gehört bei gegebenem m nach 

 den beiden Seiten eines kleineren und eines gröfseren ;; eine Lösung statt- 

 finden mufs. Die zu dem gefundenen q gehörige Wurzel des Berührungs- 

 punktes wird hiebei in der Regel ziemlich mit dem Mittel aus beiden Auf- 

 lösungen der Gleichung übereintreffen. 



Endlich geben beide Tabellen zu ei-kennen, dafs für ein ^' < 63° 26' 

 niemals der paradoxe Fall eintreten kann. Er wird auch überhaupt für ^ 

 < 90° sehr selten eintreten. Es kann dieses nämlich nur bei der ersten 

 Form sin {z — q) stattfinden, und da hier für alle Werthe von q entweder 

 die Grenzen sehr enge sind, oder die eine Grenze sich dem 90° stark nähert 

 so läfst sich übei'sehen, dafs die Fälle wo zwei mögliche Wurzeln stattfinden 

 für ^' < 90° höchst selten eintreten werden. Bei den kleineren Planeten, 

 die meistens in der Nähe der Opposition entdeckt werden, braucht man 

 deshalb nie fast die Tabellen nachzusehen. Bei Cometen wird ^' häufiger 

 > 90° sein, doch kann man auch hier der Nähe der Sonne wegen die Werthe 

 ^' > 150° in der Regel ausschliefsen. Es wird folglich, wenn der paradoxe 

 Fall eintreten soll, in der Regel die Vereinigung der Bedingungen ^' > 90° 



