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Man schreitet nun durch Forderungen oder, was dasselbe ist, durch 

 Voraussetzungen oder Definitionen weiter. Unter diesen hinzukommenden 

 Forderungen braucht wohl kaum die absolut starrer Begrenzungen aufge- 

 rührt zu werden. Denn da den Raumgebüden ihre Begrenzungen durch 

 die Definitionen vorgeschrieben sind, so liegt darin schon die Unabhängig- 

 keit von jeder Verschiebung im Räume, solange nur die Definition nicht 

 verschoben wird. Was die Verschiebungen, Um- und Aufeinanderlagerungen 

 zu Zwecken der Beweisführung anlangt, so werden diese von der neuereu 

 Geometrie ohnedies immer mehr als ein unnötiges Hilfsmittel der Beweis- 

 führung ausgeschieden. Freie Beweglichkeit dürfte daher, wie Beweglich- 

 keit überhaupt, nicht zu dvn Erfordernissen des geometrischen Gebildes 

 gehören. Was damit gemeint ist, reduziert sich auf die Vergleichbarkeit 

 der Gebilde unabhängig von Lage und Richtung, einen Begriff, der mit 

 dem der Bewegung im physikalischen Sinne nichts gemein hat. 



Die wichtigste Maxime für Definitionen , durch welche die Geometrie 

 überhaupt erst möglich wird, ist die der Vereinfachung der Begrenzungen. 

 So entsteht der Begriff des zwei- und eindimensionalen Gebildes, der Geraden, 

 der Ebene usf. Nur durch solche Vereinfachungen oder Idealisierungen 

 wird es möglich, zu gesetzlichen Beziehungen zu gelangen. Die Verein- 

 fachungen werden zunächst aufs Äußerste getrieben, später, nachdem die 

 Gesetze der schlechthin einfachsten Gebilde gefunden sind, allmählich stück- 

 weise wieder aufgehoben. 



Hiernach läßt sich der Gegenstand der Geometrie so bestimmen: es 

 ist nicht der reale, auch nicht der phänomenale Raum, sondern es sind die 

 durch Abstraktionen und Definitionen aus dem Erscheinungs- 

 raume gewonnenen, begrifflich gedachten, homogenen Raumge- 



Hei.mhoi.tz' Gedankengang entbehrlich. Es handelt sieh ihm an dieser Stelle nur darum, 

 daß für die kürzesten Linien auf der Kugeloberlläche andere Gesetze gelten wie für die 

 kürzesten Linien in der Ebene, und daß man auf größten Kreisen der Kugeloberlläche un- 

 begrenzt, aber nicht ins Unendliche fortsein eiten kann. Um dies einzusehen, braucht man 

 sich nicht in die Kugeloberlläche selbst versetzt zu denken. 



Das Gleichnis wirkte aber insofern nachteilig, als es bei manchen der unklaren Idee 

 Vorschub leistete, als könnten wir am Ende solche Wesen sein, die, während sie von einer 

 Geraden sprechen, Stücke eines größten Kreises meinen, und während sie sich eine ins 

 Unendliche verlaufende Gerade denken, nur eine in sicli zurücklaufende Linie zuwege bringen. 

 Dies ist natürlich unsinnig. Es kann vorkommen, daß einer, der gerade zu gehen glaubt, 

 krumm geht: aber nicht, daß ein mathematisches Gebilde etwas anderes wäre, als das. was 

 es ex detiuitione sein soll. 



