78 Stumpf: 



das Merkmal der Stetigkeit besonders erwähnt werden, weil nicht selbst- 

 verständlich ist. daß alles Homogene diese Eigenschaft besitzt, obgleich 

 sie beim Kaum aus der Natur dieser besonderen Vorstellung fließt. Ich 

 möchte dahingestellt lassen, ob auch die Unendlichkeit besonders erwähnt 

 werden muß oder ob diese nichl doch mit der Homogeneitäl schon unab- 

 trennbar gegeben ist. 



Seit Reemann pflegt man in diesem Sinne von »Mannigfaltigkeiten« 

 zu sprechen und den Raum nur als eine besondere Art der Mannigfaltig- 

 keiten zu bezeichnen. 1 Wir können also nun auch allgemeiner sagen: Geo- 

 metrie sei die Wissenschaft von den Strukturgesetzen der in irgendeiner 

 stetigen homogenen Mannigfeltigkeit möglichen Gebilde. Dabei kann homogen 

 im allgemeinsten Sinne das beißen, dessen Teile sämtlich durch eine einzige 

 Veränderungsweise ineinander übergehen (bzw. nur eine einzige Art von 

 Unterschieden aufweisen). 



So gefaßt ist die Geometrie der Mannigfaltigkeiten außer dem Räume 

 nicht etwa eine Übertragung geometrischer Gesetze auf ein an sich ihnen 

 fremdes Material, eine Übertragung, die nur zufällig sich auch dort be- 

 währte oder jeweils besonderer Prüfung bedürfte, sondern sie ist von vorn- 

 herein ein und dieselbe Wissenschaft , weil sie ein und denselben abstrakten 

 Gegenstand besitzt. 



Es scheint mir nun aber sehr fraglich , ob in Wirklichkeit außer dem 

 Raum irgendein Gegenstand von mehr als einer Dimension namhaft ge- 

 macht werden kann, der streng unter obigen Begriff fiele. Nur für ein- 

 dimensionale Mannigfaltigkeiten wird man leicht namentlich in physikali- 

 schen Begriffen Beispiele linden: für zweidimensionale allenfalls im Zahlen- 

 gebiete, wenn man die komplexen Zahlen als zweite Dimension bezeichnen 

 will. Die mehrfachen Dimensionen, von denen die Physik seit Fourier 

 spricht, sind dagegen gerade durch ihre Nichthomogeneität charakterisiert 

 (Weglänge. Zeit, Masse). Desgleichen che Dimensionen der Empfindungs- 

 inhalte: Qualität. Intensität usw.. in denen man innerhalb des reinen Er- 

 scheinungsgebietes Analogien zu den Raumdimensionen suchte. Neuer- 

 dings unterschied man auch noch innerhall) einer dieser Krscheinungseigen- 



1 Der Ausdruck war insofern nicht ganz glücklich gewählt, als ja von aller Mannig- 

 faltigkeit im gewöhnlichen Wortsinne hier gerade abgesehen werden soll; indessen hat man 

 sich gewöhnt, ihn in der Mathematik für eine Vielheit von Elementen zu gebrauchen, die 

 einem gemeinschaftlichen Begriff untergeordnet sind und unter sich Reihen bilden. 



