82 Stumpf: 



dem vorhin Bemerkten diesen Dienst kaum genügend leisten können. Auch 

 beim Operieren mit den einmal definierten Begriffen wird die Beihilfe der 

 Anschauung immer wieder erforderlich sein, nicht um etwas daraus abzu- 

 leiten, sondern um die Begriffe sozusagen am Leben zu erhalten. Die Be- 

 deutung der Anschauung für das geometrische Denken ist dabei wieder 

 keine andere wie die aller konkret -sinnliehen Vorstellungen für das Denken 

 der aus ihnen mehr oder weniger künstlich gebildeten Begriffe. Genügend 

 geklärt ist sie freilieh weder im speziellen noch im allgemeinen Falle. 1 



Inwiefern und wodurch nun die durch Definition gesetzte absolute 

 Homogeneität des Gegenstandes die apriorischen Ableitungen der Geometrie 

 ermöglicht: auch dies bedürfte wohl noch sehr der genaueren Untersuchung. 

 Es Liegt in der genannten Eigenschaft begründet, erstlich daß niemals 

 irgendein Exemplar einer geometrisch definierten Spezies gegeben sein kann, 

 das uns zwänge, den Begriff aufzugeben oder umzuformen. Wir können 

 uns aus vielen Gründen veranlaßt sehen zur Umbildung, Erweiterung. 

 Verengerung geometrischer Begriffe. Aber niemals kann die Beobachtung 

 eines neuen individuellen Exemplars uns dazu nötigen, wie solches in der 

 Naturforschung, zumal der organischen, sooft der Fall ist. Denn der geo- 

 metrische Begriff ist unser Geschöpf^ und in jeder Definition ist zugleich 

 die allgemeinste Voraussetzung eingeschlossen, daß das Gebilde bis in die 

 kleinsten Teile hinein homogen sein soll, daß also nicht etwa ein bisher 

 übersehener Teil an einem neuen Exemplar oder bei erneuter, aufmerk- 

 samerer Beobachtung uns eine Überraschung bereiten kann. Es liegt zweitens 

 in jener Eigenschaft begründet, daß jeder Teil des Baumes für jeden 

 anderen eintreten kann, daß es gleichgültig ist, ob wir uns den Kreis hier 

 oder dort, nah oder fern von unserem zufälligen Standpunkt denken, gleich- 

 gültig auch, ob wir ihn klein oder beliebig groß denken. 



Alier diese Bemerkungen Liegen an der Oberfläche. Eine logisch be- 

 friedigende Methodologie der Geometrie ist noch nicht geschrieben. Sie 

 hätte nicht bloß zu zeigen, wie die rein aus Begriffen fließenden not- 

 wendigen und allgemeinen Erkenntnisse, sondern insbesondere, wie die 

 unendliche Fülle dieser Erkenntnisse in der Natur des Gegenstandes wurzelt, 

 wie das absolut Homogene durch die Unerschöpflichkeit der darin mit- 



1 Was F. Klein in seinen Vorlesungen über nichteuklidische Geometrie (1893) 8.354 f. 

 über die Rolle der Anschauung für das geometrische Denken sagt, scheint mir auch vom 

 philosophischen Standpunkte ganz zutreffend. 



