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En suma, tenemos para da y dv en función de las nuevas 

 coordenadas, estas dos expresiones: 



du = dU— Vde 

 dv = dV-^ Ud9. 



* 

 * * 



Las expresiones anteriores nos determinan da, dv en fun- 

 ción de dU, dV, pero en el caso general, cuando el punto M 

 ha tomado la posición M', y el punto M^ ha ¡do á parar 

 á M\. Y no son las diferenciales generales las que busca- 

 mos, sino las diferenciales parciales. 



Sin embargo, de los valores obtenidos para du, dv, pode- 

 mos deducir, en este sistema particular de coordenadas que 

 vamos examinando, las nueve diferenciales parciales de 

 ü, V, w, en función de las nueve diferenciales ó derivadas par- 

 ciales de U, V, W que hemos consignado en el cuadro (I). 



Determinemos una por una las derivadas parciales de 



U, V, IV. 



1.° . Esta expresión significa que ha de buscarse 



dx 



la relación entre un incremento de « y un incremento de x, 



cuando no varían la y ni la z; de modo que el punto M ha 



de moverse sobre el eje auxiliar de las x, que es el mismo 



de las r, y que en proyección será el eje r' 



Dividiendo, pues, por dx el valor du tendremos: 



du_ _ dU de 



dx dx dx 



En primer lugar, puesto que coinciden los ejes x y r, la 

 expresión anterior también podrá escribirse de este modo: 



da dU ^ do 



dx dr dr 



